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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:19 Di 25.05.2010 | | Autor: | fiktiv |
| Aufgabe | Bestimmen Sie das bestimmte Integral
[mm]\integral_{2}^{3}{\bruch{x^{2}+1}{x*(x-1)^{2}} dx}[/mm] |
Guten Tag,
es treibt mich wieder einmal der fehlende Durchblick bei der Umwandlung zu einem passablen Term, den man für die Stammfunktion benötigt.
Binomische Formel, Ausklammerungen, hab viel versucht, habe aber entweder die richtige Idee übersehen oder falsch gearbeitet.
Es müsste am Ende wohl [mm]F(x)=ln(x)-\bruch{2}{x-1}[/mm] sein, wie man darauf kommt kann ich mir jedoch nicht erklären.
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Hallo,
mach eine Partialbruchzerlegung!
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:07 Di 25.05.2010 | | Autor: | fiktiv |
Vielen Dank an euch beiden, Angela und Steffi.
Ich habe flux Steffis Tipp umgesetzt und kam schlussendlich doch zum richtigen Ergebnis - was mich nicht daran hinderte, auch Angelas Vorschlag zu vertiefen und mich an der Partialzerlegung zu versuchen.
Leider komme ich damit in am Ende nur zum Teil auf die richtige Lösung, weshalb ich meinen Lösungsweg mal eben präsentiere:
[mm]\bruch{x^{2}+1}{x^{3}-2x^{2}+1x}[/mm]
Ich hatte gedacht, ich vereinfache das untere Polynom (NST bei x=0), in dem ich daraus einfach
[mm]\bruch{x^{2}+1}{x^{2}-2x+1}[/mm] mache. Liegt hier der Hund begraben? Denn damit "unterschlage" ich in meiner Weiterführung diese Nullstelle:
[mm]\bruch{x^{2}+1}{x^{2}-2x+1}=\bruch{x^{2}+1}{(x-1)(x-1)}=\bruch{A}{x-1}+\bruch{B}{(x-1)^{2}}[/mm]
[mm]x^{2}+1 = A(x+1) + B[/mm]
für [mm]x_{n1}=1 --> 1+1 = 0 + B => B=2[/mm]
für [mm]x_{n2}=0 --> 1 = A + 2 => A=-1[/mm]
[mm]\bruch{x^{2}+1}{x^{2}-2x+1}=-\bruch{1}{(x-1)} + \bruch{2}{(x-1)^{2}}[/mm]
[mm]-\integral_{2}^{3}{\bruch{1}{(x-1)} dx} + \integral_{2}^{3}{\bruch{2}{(x-1)^{2}} dx}[/mm]
und damit komme ich auf:
[mm]|-ln(|x-1|) - \bruch{2}{x-1}|_{2}^{3}[/mm]
Im Vergleich zur richtigen Lösung wäre also das Minus vor dem ln, sowie die "-1" im Argument des Logarithmus fehlplatziert.. ?!
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:46 Di 25.05.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Partialbruchzerlegung:
[mm] A/x+(Bx+C)/(x-1)^2
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:53 Mi 26.05.2010 | | Autor: | fiktiv |
Hallo leduart,
danke für deine Antwort und entschuldige, dass ich sie sogleich auseinanderpflücke. 
[mm]\bruch{A}{x}[/mm]: Das kommt aus der Nullstelle x=0?
[mm]\bruch{Bx}{(x-1)^{2}}[/mm]: Woher kommt das x am B? Oder hast du es nur sehr stark zusammengefasst, und kommt es dann aus [mm]\bruch{B}{(x-1)} + \bruch{C}{(x-1)^{2}}[/mm]?
Danke.
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Hallo fiktiv!
> [mm]\bruch{A}{x}[/mm]: Das kommt aus der Nullstelle x=0?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]\bruch{Bx}{(x-1)^{2}}[/mm]: Woher kommt das x am B?
> Oder hast du es nur sehr stark zusammengefasst, und kommt es dann aus
> [mm]\bruch{B}{(x-1)} + \bruch{C}{(x-1)^{2}}[/mm]?
Genau.
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:59 Mi 26.05.2010 | | Autor: | fiktiv |
Merci Roadrunner. :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:15 Mi 26.05.2010 | | Autor: | fiktiv |
Damit komme ich dann durch A + B + C auch am Ende auf drei Terme.. :
[mm] \integral_{2}^{3}{\bruch{1}{x} dx} [/mm] - [mm] \integral_{2}^{3}{\bruch{1}{x-1} dx} [/mm] + [mm] \integral_{2}^{3}{\bruch{1}{(x-1)^{2}} dx}
[/mm]
.. die mich nicht auf die richtige Lösung kommen lassen?
Dankeschön für jedwelche Hilfe.
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Hallo fiktiv,
> Damit komme ich dann durch A + B + C auch am Ende auf drei
> Terme.. :
>
> [mm]\integral_{2}^{3}{\bruch{1}{x} dx}[/mm] -
> [mm]\integral_{2}^{3}{\bruch{1}{x-1} dx}[/mm] +
> [mm]\integral_{2}^{3}{\bruch{1}{(x-1)^{2}} dx}[/mm]
>
> .. die mich nicht auf die richtige Lösung kommen lassen?
>
> Dankeschön für jedwelche Hilfe.
Mit dem richtigen PBZ-Ansatz [mm] $\frac{x^2+1}{x(x-1)^2}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{(x-1)^2}$, [/mm] erweitern (gleichnamig machen) und anschließendem Koeffizientenvgl. solltest du auf $A=1, B=0, C=2$ kommen ...
Was wiederum zu [mm] $\int\limits_{2}^{3}{\frac{x^2+1}{x(x-1)^2} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \int\limits_{2}^{3}{\frac{1}{x} \ dx} [/mm] \ + \ [mm] \int\limits_{2}^{3}{\frac{2}{(x-1)^2} \ dx}$ [/mm] führt
Rechne mal nach, und wenn's nicht hinhaut, dann hier vor ...
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:13 Mi 26.05.2010 | | Autor: | fiktiv |
Ich hatte tatsächlich nur ein [mm]x^{2}[/mm] unter den Tisch fallen lassen. Peinlich. 
Danke dir.
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Hallo, mache Polynomdivision
[mm] (x^{2}+1):(x^{3}-2x^{2}+x)=\bruch{1}{x}+\bruch{2x}{x^{3}-2x^{2}+x}= [/mm] .....
Steffi
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