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Hallo liebe Forum-Freunde
Es geht um eine Aufgabe,bei der ich nicht weiter komme ,deshalb bitte ich euch um eure Hilfe:
Aufgabe:
Eine ganzrationale Funktion 3.Grades hat bei 2 eine Wendestelle,ihr Graph berührt in (0;0) die x-Achse und schließt mit der x-Achse den Flächeninhalt 13,5 FE ein.Bestimme die Funktionsgleichung.(Hinweis: beachte die Anzahl der Lösungen)
Mein Ansatz:
1)
[mm] f(x)=ax^3+bx^2+cx+d
[/mm]
[mm] f'(x)=3ax^2+2bx+c
[/mm]
f''(x)=6ax+2b
2)
f(0)=0
f'(0)=0
f''(2)=0
Somit fällt ja c und d aus,da diese gleich 0 sind.
3)
Aus der Wendepunktbedingung f''(2)=0 folgt;
f''(x)=6ax+2b
[mm] \Rightarrow [/mm] 6a(2)+2b=0
[mm] \Rightarrow [/mm] b=-6a
[mm] f(x)=ax^3-6ax^2
[/mm]
Nullstellen von f(x) sind 0 und -6
[mm] A=\integral_{-6}^{0}{f(x) dx} [/mm]
Dies ist mein Ansatz,leider weiß ich nicht wie es weiter geht.
Vielen Dank im Voraus
MfG
Hasan
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> Hallo liebe Forum-Freunde
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> Es geht um eine Aufgabe,bei der ich nicht weiter komme
> ,deshalb bitte ich euch um eure Hilfe:
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> Aufgabe:
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> Eine ganzrationale Funktion 3.Grades hat bei 2 eine
> Wendestelle,ihr Graph berührt in (0;0) die x-Achse und
> schließt mit der x-Achse den Flächeninhalt 13,5 FE
> ein.Bestimme die Funktionsgleichung.(Hinweis: beachte die
> Anzahl der Lösungen)
>
> Mein Ansatz:
>
> 1)
> [mm]f(x)=ax^3+bx^2+cx+d[/mm]
> [mm]f'(x)=3ax^2+2bx+c[/mm]
> f''(x)=6ax+2b
>
> 2)
> f(0)=0
> f'(0)=0
> f''(2)=0
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> Somit fällt ja c und d aus,da diese gleich 0 sind.
>
> 3)
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> Aus der Wendepunktbedingung f''(2)=0 folgt;
>
> f''(x)=6ax+2b
> [mm]\Rightarrow[/mm] 6a(2)+2b=0
> [mm]\Rightarrow[/mm] b=-6a
>
> [mm]f(x)=ax^3-6ax^2[/mm]
Bis hierher ist alles richtig 
> Nullstellen von f(x) sind 0 und -6
$f(x) = [mm] a*x^3-6*a*x^2 [/mm] = [mm] a*x^{2}*(x-6)$
[/mm]
Also sind die Nullstellen 0 und +6.
Auch dein folgender Ansatz ist okay!
Berechne also zunächst das Integral
[mm] \integral_{0}^{6}{f(x) dx} [/mm] = F(6)-F(0)
Das liefert dir dann einen Term, indem noch irgendwie a drin vorkommt. Dieser Term ist ja die Fläche, welche die Funktion mit der x-Achse einschließt. Du musst ihn jetzt also mit den geforderten 13.5 FE gleichsetzen und dann nach deiner letzten großen Unbekannten, dem a, umstellen.
Achtung! Du berechnest oben ein bestimmtes Integral. Das kann auch negativ sein. Teste also sowohl
[mm] +\integral_{0}^{6}{f(x) dx} [/mm] = 13.5
als auch
[mm] -\integral_{0}^{6}{f(x) dx} [/mm] = 13.5
Stefan.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:31 Do 27.11.2008 | | Autor: | plutino99 |
Danke vielmals,bin zum Ergebnis gekommen,habe auch die Probe gemacht,ist alles korrekt.
MfG
Hasan
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