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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:58 Di 06.10.2009 | | Autor: | Chilla91 |
| Aufgabe | Für jede Zahl t ist eine Funktion gegeben durch ft(x)=x³- (x -t)².
a) Für welchen Wert von t besitzt der Graph keine Extrempunkte?
b) Gibt es eine Funktion, die für x=2 ein lokales Maximum hat? |
Zu a) fällt mir absolut nichts ein, höchsten, da es um ein Extremum geht, die erste Ableitung bilden.
ft(x)= x³-(x-t)²
= x³- x²-2xt+t²
f 't(x)= 3x²-2x-2t
Eine andere Bedingung, die dann ja eigentlich erfüllt werden muss ist:
f''t (x)=0
aber bei der zweiten Ableitung ist t ja auch nicht mehr da, also ich wüsste wirklich nicht wie man das testen kann?
Zu Aufgabe b).
Wenn es eine Funktion geben soll, die für x= 2 ein lokales Maximum hat, muss ja
f''t(2) < 0 sein.
f''t(2)=6(2)-2
=10
Also hat die Funktion bei x= 2 kein Maximum, sondern ein Minimum.
Demnach gibt es die gesuchte Funktion nicht.
Richtig?
Mfg
Jan
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Hallo Jan,
> Für jede Zahl t ist eine Funktion gegeben durch ft(x)=x³-
> (x -t)².
>
> a) Für welchen Wert von t besitzt der Graph keine
> Extrempunkte?
> b) Gibt es eine Funktion, die für x=2 ein lokales Maximum
> hat?
> Zu a) fällt mir absolut nichts ein, höchsten, da es um
> ein Extremum geht, die erste Ableitung bilden.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") guter Ansatz.
Welche Bedingung muss denn Erfüllt sein, damit ein Extremum vorliegt?
Wenn du das weisst, dann überleg dir, wie du $\ t $ so wählen kannst, dass die notwendige Bedingung nicht erfüllt wird.
Hast du das getan, ist Aufgabe a) schon beantwortet.
>
> ft(x)= x³-(x-t)²
> = x³- x²-2xt+t²
>
> f 't(x)= 3x²-2x-2t
>
> Eine andere Bedingung, die dann ja eigentlich erfüllt
> werden muss ist:
> f''t (x)=0
Gut, du hast hier nicht ganz Unrecht. Es reicht aber, wenn schon die notwendige Bedingung nicht erfüllt ist. Dann ist die hinreichende Bedingung ohnehin hinfällig.
Siehe also oben.
Tipp: Wähle $\ t $ so, dass $\ f'_t$ keine Nullstellen hat.
>
> aber bei der zweiten Ableitung ist t ja auch nicht mehr da,
> also ich wüsste wirklich nicht wie man das testen kann?
>
> Zu Aufgabe b).
>
> Wenn es eine Funktion geben soll, die für x= 2 ein lokales
> Maximum hat, muss ja
>
> f''t(2) < 0 sein.
>
> f''t(2)=6(2)-2
> =10
>
> Also hat die Funktion bei x= 2 kein Maximum, sondern ein
> Minimum.
> Demnach gibt es die gesuchte Funktion nicht.
> Richtig?
Es muss erst die notwendige Bedingung erfüllt sein. Also erneut $\ [mm] f'_t(x_0) [/mm] = 0$ mit $\ [mm] x_0 [/mm] = 2 $
Nun prüfe ob es ein [mm] $f''_t(x_0) [/mm] < 0 $ gibt.
>
> Mfg
>
> Jan
Viele Grüße
ChopSuey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:05 Di 06.10.2009 | | Autor: | Chilla91 |
Erstmal danke für die Antworten  .
Erstmal zu a).
Also, die erste Ableitung muss ja = 0 sein.
Machen wir das also mal.
ft'(x)=0
ft'(x)=3x²-2x+2t /3
ft'(x)=x²- 2x/3 +2t/3 =0 / -2t/3
ft'(x)=x²-2x/3 = - 2t/3 / q.E.
ft'(x)=(x-1/3)² = -2t/3 +1/9
t muss doch jetzt nur so gewählt werden, dass rechts eine negative Zahl stehen bleibt. Sprich wenn 1/6 zutrifft ists rechts genau =0. Das reicht ja nicht, dann hätte wir doch noch eine mögl. Extremstelle von 1/3. Sprich für t > 1/6 hat der Graph keine Extrempunkte.
Allerdings habe stehen die Lösungen auf einem Blatt, jedoch nicht der Lösungsweg. Wie bekomme ich rechnerisch heraus, dass 1/6 genau 0 auf der rechten Seite macht? Klar wenn ichs einsetze stehts da aber ich wüsste gerade nicht wie ich das bis auf Ausprobieren herausbekomme.
Mfg
Jan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:15 Di 06.10.2009 | | Autor: | fred97 |
> Erstmal danke für die Antworten .
>
> Erstmal zu a).
> Also, die erste Ableitung muss ja = 0 sein.
> Machen wir das also mal.
>
> ft'(x)=0
> ft'(x)=3x²-2x+2t /3
> ft'(x)=x²- 2x/3 +2t/3 =0 / -2t/3
> ft'(x)=x²-2x/3 = - 2t/3 / q.E.
> ft'(x)=(x-1/3)² = -2t/3 +1/9
>
> t muss doch jetzt nur so gewählt werden, dass rechts eine
> negative Zahl stehen bleibt. Sprich wenn 1/6 zutrifft ists
> rechts genau =0. Das reicht ja nicht, dann hätte wir doch
> noch eine mögl. Extremstelle von 1/3. Sprich für t >
> 1/6 hat der Graph keine Extrempunkte.
Richtig
>
> Allerdings habe stehen die Lösungen auf einem Blatt,
> jedoch nicht der Lösungsweg. Wie bekomme ich rechnerisch
> heraus, dass 1/6 genau 0 auf der rechten Seite macht? Klar
> wenn ichs einsetze stehts da aber ich wüsste gerade nicht
> wie ich das bis auf Ausprobieren herausbekomme.
$-2t/3 +1/9 = 0 [mm] \gdw [/mm] -6t+1 = 0 [mm] \gdw [/mm] 1=6t [mm] \gdw [/mm] t= 1/6$
$-2t/3 +1/9 < 0 [mm] \gdw [/mm] -6t+1 < 0 [mm] \gdw [/mm] 1<6t [mm] \gdw [/mm] t> 1/6$
FRED
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>
> Mfg
>
> Jan
>
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Hallo,
kurze Ergänzung:
> Für jede Zahl t ist eine Funktion gegeben durch ft(x)=x³-
> (x -t)².
>
> a) Für welchen Wert von t besitzt der Graph keine
> Extrempunkte?
> b) Gibt es eine Funktion, die für x=2 ein lokales Maximum
> hat?
> Zu a) fällt mir absolut nichts ein, höchsten, da es um
> ein Extremum geht, die erste Ableitung bilden.
>
> ft(x)= x³-(x-t)²
> = x³- x²-2xt+t²
Achtung mit den Vorzeichen!
Es ist [mm] $f_t(x)=x^3-(x^2-2tx+t^2)=x^3-x^2\red{+}2tx\red{-}t^2$ [/mm] ...
Gruß
schachuzipus
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