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| Aufgabe | Gegeben seien die Funktionen [mm] f_1(x)=\bruch{|x+1|+x+1}{|x^2-1|} [/mm] und [mm] f_2(x)=\wurzel{x^2+4x+4}-x-2 [/mm] mit [mm] D(f_1)=\IR [/mm] \ {-1,1} und [mm] D(f_2)=\IR. [/mm] Untersuche, ob die folgenden Funktionsgrenzwerte (eigentliche oder uneigentliche) existieren und berechne diese im Falle der Existenz.
a) [mm] \limes_{x\rightarrow\(x_0}f_1(x), x_0 \in [/mm] { [mm] -1,1,-\infty, +\infty [/mm] } .
b) [mm] \limes_{x\rightarrow\(x_0}f_2(x), x_0 \in [/mm] { [mm] -2,-\infty, +\infty [/mm] } . |
a)
[mm] \limes_{x\rightarrow\(x_0}f_1(x)=\limes_{x\rightarrow\(x_0}\bruch{|x+1|+x+1}{|x^2-1|}
[/mm]
1. [mm] x_0=-1:
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\(-1}\bruch{x+1+x+1}{x^2-1}=\limes_{x\rightarrow\(-1}\bruch{2x+2}{x^2-1}=\limes_{x\rightarrow\(-1}\bruch{2(x+1)}{(x+1)(x-1)}=-1
[/mm]
2. [mm] x_0=1:
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\(1}\bruch{2(x+1)}{(x+1)(x-1)}=0
[/mm]
3. [mm] x_0=-\infty:
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\(-\infty}\bruch{2(x+1)}{(x+1)(x-1)}=0
[/mm]
4. [mm] x_0=\infty:
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\(\infty}\bruch{2(x+1)}{(x+1)(x-1)}=0
[/mm]
b)
[mm] f_2(x)=\wurzel{x^2+4x+4}-x-2=(x+2)-x-2=0
[/mm]
Nach der Zusammenfassung bekomme ich [mm] f_2(x)=0 [/mm] somit ist [mm] \limes_{x\rightarrow\(x_0}f_2(x)=0
[/mm]
Ist soweit alles richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:50 So 18.01.2009 | | Autor: | ardik |
Hallo jennynoobie,
> a)
> [mm]\limes_{x\rightarrow\(x_0}f_1(x)=\limes_{x\rightarrow\(x_0}\bruch{|x+1|+x+1}{|x^2-1|}[/mm]
Du ignorierst in Deinen Rechnungen ganz gelassen die Betragstriche, was in
> 1. [mm]x_0=-1:[/mm]
> [mm]\limes_{x\rightarrow\(-1}\bruch{x+1+x+1}{x^2-1}=\limes_{x\rightarrow\(-1}\bruch{2x+2}{x^2-1}=\limes_{x\rightarrow\(-1}\bruch{2(x+1)}{(x+1)(x-1)}=-1[/mm]
sich nicht auswirkt, da beide Fällen (s.u.) im Endeffekt zum gleichen Vorzeichen führen.
Aber in
> 2. [mm]x_0=1:[/mm]
> [mm]\limes_{x\rightarrow\(1}\bruch{2(x+1)}{(x+1)(x-1)}=0[/mm]
ist es von Bedeutung!
Der Betrag im Zähler ist im Grenzwert eindeutig positiv, also dürfen die Betragstriche wegfallen.
Der Nenner aber wechselt das Vorzeichen, je nachdem ob x kleiner oder größer als 1 ist.
Du hast Dich aber auch bei der weiteren Berechnung arg verhauen!
Der Zähler wird im Grenzwert vier.
Und der Nenner? Null! Was bedeutet das für den gesamten Bruch?!
Deine Lösungen für 3. und 4. scheinen mir richtig!
Aber es ist nicht korrekt, jedesmal von dem die Betragstriche nicht berücksichtigenden "vereinfachten" Bruch auszugehen. Bei Deiner Variante wird bei 3. der Zähler im Grenzwert unendlich, korrekt ist aber null.
> b)
> [mm]f_2(x)=\wurzel{x^2+4x+4}-x-2=(x+2)-x-2=0[/mm]
> Nach der Zusammenfassung bekomme ich [mm]f_2(x)=0[/mm] somit ist
> [mm]\limes_{x\rightarrow\(x_0}f_2(x)=0[/mm]
Das sehe ich auch so. 
Schöne Grüße
ardik
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