Funktionsgraphen und Tangenten < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:18 Sa 09.04.2005 | | Autor: | YNS |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Also ich muss folgende Aufgabe lösen,
Es ist f( x)=2 x³-3x²-13 x+7. Bestimme alle Punkte des Funktionsgraphen mit der Tangentensteigung -1. Gib jeweils die Tangentengleichung an.
Ich bin völlig am Verzweifeln, da ich mir die Lösung dieser Aufgabe nicht einmal im Ansatz vorstellen kann, evt. Kann ich mir denken das es was mit den Ableitungen zu tun hat, also
f'(x)=6 x²-6 x-13 ... aber weiter komm ich nicht, die Lösung ist weniger wichtig, ich würde nur gern verstehen wie man eine Solche Aufgabe zu lösen in der Lage ist,
verbindlichsten Dank,
YNS
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:45 Sa 09.04.2005 | | Autor: | mathrix |
Hallo YNS,
dein Ansatz ist vollkommen richtig. Du weisst, dass die Ableitung einer Funktion (f) deren Steigung angibt. Du weisst zudem, dass diese Steigung -1 sein soll, dass also die Ableitung f'(x) = -1 sein soll. Du hast auch richtig abgeleitet. Also musst du bloß noch gleichsetzen:
[mm]f'(x) = 6x^2-6x-13 = -1[/mm]
Das kannst du jetzt lösen mit der Mitternachtsformel, abc-Formel, pq-Formel, ... und erhältst dann [mm]x_{1,2}[/mm], also die Stellen, an denen die Ableitung den gewünschten Wert annimmt.
Da du jedoch die Tangenten an diesen Stellen an das Schaubild möchtest, musst du noch deren Gleichungen aufstellen. Dabei kennst du die Punkte [mm]P_{1,2}(x_{1,2}|f(x_{1,2}))[/mm], die sowohl Element des Funktionsschaubildes wie auch des Tangentenschaubilds (da jedoch immer nur bei einem) sind und du kennst die Steigung an dieser Stelle. Jetzt musst du das nur in die allgemeine Tangentenform [mm]t: y = mx + c[/mm] einsetzen und hast deine gewünschten Tangenten.
Ich bin mal gespannt, ob du es jetzt schaffst und natürlich auf das Ergebnis,
mathrix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:07 Sa 09.04.2005 | | Autor: | YNS |
also als X Werte habe ich herausbekommen,
x1=7,58258
x2=1,58258
Ich rätsel noch ein bisschen wie es weiter geht, bin aber frohen Mutes :)
Gruss YNS
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:22 Sa 09.04.2005 | | Autor: | mathrix |
Hi YNS,
meine Ergebnisse für [mm]x_{1,2}[/mm] stimmen nicht mit deinen überein. Kannst du bitte einen ausführlichen Weg deiner Berechnung posten, dass wir deinem Fehler (oder meinem, falls deine Lösung richtig ist) auf die Spur kommen können?
Gruß,
mathrix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:57 Sa 09.04.2005 | | Autor: | YNS |
Ich habe festgestellt, das meine Rechnung nicht stimmt,
indem ich die Ergebnisse eingesetzt habe :(
Ich hab es mit der quadratischen Ergänzung versucht,
aber das hat auch nicht hingehauhen, kannst du mir
vielleicht sagen wie es geht, ich weiß wirklich nicht wie
das jetzt gehen soll,
Gruss
YNS
|
|
|
| |
|
Hallo!
Ich bin zwar nicht mathrix, aber ich möchte trotzdem versuchen dir zu helfen.
Du hast die Gleichung
[mm] f'(x)=6x^2-6x-13
[/mm]
und m= -1
Da die Ableitung f'(x) gleich die Steigung m der Tangente an der Stelle [mm] x_{0} [/mm] ist, kannst du sagen [mm] f'(x_{0})=m [/mm] (an der Stelle [mm] x_{0})
[/mm]
Und somit
[mm] 6x^2-6x-13= [/mm] -1
um diese quadratische Gleichung (entweder mit der pq-Formel oder auch mit der quadratischen Ergänzung) lösen zu können, musst du sie erst einmal in die Normalform [mm] x^2+px+q=0 [/mm] bringen.
Also die -1 auf die linke Seite bringen und durch 6 teilen:
[mm] 6x^{2}-6x-13=-1
[/mm]
[mm] 6x^{2}-6x-12=0 [/mm]
[mm] x^{2}-1x-2=0
[/mm]
Nun kannst du entweder die quadratische Ergänzung anwenden, oder die pq-Formel.
Bei der pq-Formel, die da ja lautet [mm] x_{1/2}=-\bruch{p}{2}\pm\wurzel{(\bruch{p}{2})^{2}-q}, [/mm] musst du lediglich für p=-1 und für q=-2 einsetzen und dann bekommst du deine beiden x-Werte raus. Ebenso kannst du es ja noch einmal mit der quadratuschen Ergänzung versuchen,
ausgehend von
[mm] x^{2}-1x-2=0
[/mm]
Und zwar wäre hier die quadratische Ergänzung:
[mm] x^{2}-1x [/mm] [mm] +(0,5)^2-(0,5)^2 [/mm] -2=0
dann kommt die binomische Formel
[mm] x^{2}-1x+(0,5)^2-(0,5)^2-2=0
[/mm]
[mm] (x-0,5)^2-(0,5)^2-2=0
[/mm]
[mm] (x-0,5)^2-2,25=0
[/mm]
die nächste Binomische Formel ( die 3.: [mm] a^2-b^2=(a+b)^2(a-b)^2)
[/mm]
[mm] (x-0,5+\wurzel{2,25})(x-0,5-\wurzel{2,25})=0
[/mm]
Somit würdest du auch deine beiden x-werte erhalten.
Dann musst du zu denen jeweils noch die y-Werte berechen [mm] (f(x_{1}) [/mm] und [mm] f(x_{2})), [/mm] Hierbei musst du von deiner gegebenen Funktionsgleichung ausgehen und nicht mehr von der Ableitung!
Die weiteren letzten Schritte sind ja auch schon genannt worden, mithilfe der jeweils bekannten punkte und der Steigung (m=-1) kannst du dann c der Tangentengleichung y=mx+c berechnen (ich kenne das c zwar als n, aber das ist ja egal, welche Variable dort steht, denke ich mir)
Alles klar? Kannst ja deine weitere Ergebnisse und Vorgehensweise posten, damit die Aufgaben hier komplett wird und du dich vergewissern kannst :)
Hoffe ich habe alles richtig erklärt, falls mir irgednwo ein Fehler unterlaufen sollte, dann sagt mir bitte Bescheid! ;)
Wünsche allen einen angenehmen Abend und noch ein schönes Wochenende!
Fuechsin =)
|
|
|
|
