Funktionsgleichung aus Punkten < Steckbriefaufgaben < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:34 Mo 27.09.2004 | | Autor: | Disap |
Bei einer Funktionsgleichung 3en Grades muss man ja 4 Punkte gegeben haben:
Die Bedinungen lauten:
0= 8a + 4b +d
4= -8a + 4b +d
8= -64a + 16b +d
0= c
Wie kann man das ohne Gauss-verfahren lösen?
Ohne Gaussverfahren komme ich da einfach nicht weiter :(
Hab sogar schon versucht sofort nach z.B. d umzustellen und in die übrigen Gleichungen einzusetzen.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:05 Mo 27.09.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Disap,
> Bei einer Funktionsgleichung 3en Grades muss man ja 4
> Punkte gegeben haben:
>
> Die Bedinungen lauten:
>
> 0= 8a + 4b +d
> 4= -8a + 4b +d
> 8= -64a + 16b +d
> 0= c
Nummerieren wir das ganze einmal:
(I) $0= 8a + 4b +d$
(II) $4= -8a + 4b +d$
(III) $8= -64a + 16b +d$
Um das $c$ brauchen wir uns nicht mehr zu kümmern, denn du hast ja oben schon $c=0$ stehen. Deswegen habe ich hier auch nur deine ersten drei Gleichungen nochmal hingeschrieben.
Jetzt gibt es mehrere Wege, das ganze durchzurechnen. Ich persönlich würde das Additionsverfahren heranziehen, und zwar:
Addiere (I) und (II) (denn dann fällt das [m]a[/m] weg). Die neue Gleichung nennst du meinetwegen (I').
(D.h. (I)[m]+[/m](II) [m]\Rightarrow[/m] (I')).
Jetzt nimmst du wieder die Gleichung (I), multiplizierst sie mit $8$ und addierst das Ergebnis zu der Gleichung (III) (denn dann fällt auch hier wieder das [m]a[/m] weg). Die Ergebnis-Gleichung nennst du dann (II').
(D.h. [m]8*[/m](I)[m]+[/m](III) [m]\Rightarrow[/m] (II'))
Nun hast du zwei Gleichungen mit 2 Variablen (nämlich (I') und (II')), ich denke, damit kommst du dann klar, oder?
> Wie kann man das ohne Gauss-verfahren lösen?
>
> Ohne Gaussverfahren komme ich da einfach nicht weiter :(
>
> Hab sogar schon versucht sofort nach z.B. d umzustellen und
> in die übrigen Gleichungen einzusetzen.
Das ginge übrigens auch. Löse die Gleichung (I) nach $d$ auf (es geht natürlich auch eine andere Variable, aber du hast ja selber $d$ vorgeschlagen).
Setze dann dein $d$ in (II) ein, du erhältst eine neue Gleichung, ich nenne sie mal (1).
Setze das $d$ aber auch in die Gleichung (III) ein, deine neue Gleichung nenne ich dann (2).
Nun hast du noch das GLS, das aus den Gleichungen (1) und (2) besteht, zu lösen, also zwei Gleichungen mit zwei Variablen.
Falls du dann nicht weiterkommst, dann meldest du dich bitte wieder? 
PS: Schreibe bitte deinen Rechenweg auf (mit Ergebnissen), damit wir sehen, an welcher Stelle du Schwierigkeiten hast und effektiv weiterhelfen können.
Liebe Grüße
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:31 Mo 27.09.2004 | | Autor: | Emily |
> Bei einer Funktionsgleichung 3en Grades muss man ja 4
> Punkte gegeben haben:
>
> Die Bedinungen lauten:
>
> 0= 8a + 4b +d
> 4= -8a + 4b +d
> 8= -64a + 16b +d
> 0= c
>
> Wie kann man das ohne Gauss-verfahren lösen?
>
> Ohne Gaussverfahren komme ich da einfach nicht weiter :(
>
> Hab sogar schon versucht sofort nach z.B. d umzustellen und
> in die übrigen Gleichungen einzusetzen.
>
>
Hallo disap,
das beste Verfahren, neben Gaussverfahren ist hier das Additionnsverfahren.
Du mußt eine Variable (a,b,c oder d) aus allen Gleichungen eliminieren.
mit c= 0 ist bereits eine Variable fest.
Also:
I[mm]0= 8a + 4b +d[/mm]
II[mm]4= -8a + 4b +d[/mm]
III[mm]8= -64a + 16b +d[/mm]
eliminiere d:
I - II [mm]16a = -4 \gdw a=\br{-1}{4}[/mm]
I - III [mm] 72a-12b=-8[/mm]
a einsetzen z. B. in I-III:
[mm] -18-12b=-8 \gdw b=\br{-5}{6}[/mm]
a und beinsetzen z. B. in I:
Liebe Grüße
emily
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:17 Mo 27.09.2004 | | Autor: | Disap |
WArum kann folgendes nicht stimmen, dass man eine Funktion dritten Grades hat?
0=32a+4b
b= -8a
0=12a+2b
b=-6a
Weil sich die Werte von b unterscheiden?
Weil wenn man b einsetzt, unterschiedliche Ergebnisse für a herauskommen?
Weil für a einmal = 0 herauskommt?
Übrigens vielen Dank für die Antworten. Das habe ich jetzt verstanden. Aber das Gauss-verfahren konnte ich ja schon vorher :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:48 Mo 27.09.2004 | | Autor: | Loddar |
Hallo Disap,
die richtige Ermittlung dieser beiden Gleichungen sei hier mal vorausgesetzt.
Für diese Gleichungssystem gibt es genau eine Lösung mit a = b = 0.
Wenn ich das nun in unsere Ursprungsgleichung für eine Funktion 3. (!) Ordnung einsetze, erhalte ich eine nicht sinnvolle Lösung, da nur eine Geradengleichung (wenn überhaupt) übrigbleibt:
f(x) = a·x³ + b·x² + c·x + d
f(x) = c·x + d
Es ist also ziemlich unwahrscheinlich, dass dies die korrekte Lösung ist, da aller Voraussicht nach schon eine Funktion 3. Grades "rauskommen" sollte.
Überprüfe doch mal die Gleichungen aus den gegebenen Bedingungen ...
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:58 Mo 27.09.2004 | | Autor: | Disap |
> Hallo Disap,
>
> die richtige Ermittlung dieser beiden Gleichungen sei hier
> mal vorausgesetzt.
>
Joa, die wird richtig sein, denn nicht umsonst geht es in der Aufgabe darum zu begründen, warum diese Aussage falsch ist
> Für diese Gleichungssystem gibt es genau eine Lösung mit a
> = b = 0.
>
Wie kommt man denn darauf?
Also waren meine "Begründungen" alle falsch oder wie?
> Überprüfe doch mal die Gleichungen aus den gegebenen
> Bedingungen ...
>
Joa, habe ich :)
Danke
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:19 Mo 27.09.2004 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
Für diese Gleichungssystem gibt es genau eine Lösung mit
a = b = 0.
> Wie kommt man denn darauf?
Durch Gleichsetzen der beiden gegebenen bzw. schon umgeformten Gleichungen
(I') b = -8a
(II') b = -6a
erhältst Du schnell a = 0 und anschließend auch b = 0.
Mit diesen beiden Werten handelt es sich nun eindeutig nicht mehr um eine Funktion 3. Grades (s.o.).
> Also waren meine "Begründungen" alle falsch oder wie?
Die 3. "Begründung" kam schon nah ran, aber es kommt hier nun mal immer a = 0 raus.
Gruß
Loddar
|
|
|
|
