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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:47 Mo 16.06.2008 | | Autor: | crazy1 |
| Aufgabe | Um die Ortschaft D, die an der geraden Straße A und B liegt, wird eine Umgehungsstraße gebaut. Diese soll in A und B tangential in die alte Straße münden und durch den Punkt C gehen.
a) Bestimmen Sie eine ganzrationale Funktion vom Grad 4, deren Graph den obigen Bedingungen entspricht. |
Lösung:
Mit den aus der Aufgabenstellung begründbaren Bedingungen f(0) = 4,
f(2) = 1, f(4) = 0, f ´(0) = 1 und f ´(4) = 1 lässt sich das Gleichungssystem mit 5 Variablen eindeutig lösen:
f(x) = [mm] -1/16x^4+1/2x^3-x^2-x+4
[/mm]
Die Punkte von A, B und C konnte man ablesen und so in die allgemeine Gleichung der Funktion einsetzen, wobei ich zumindesten schoneinmal rausbekommen habe, das a0=4
A(0/4) B(4/0) C(2/1)
dann f`(x)=m macht auch sinn und die f`(4)=1 dann auch. nur diese f`(0)=-1 sagt mir nichts. und ich kapiere auch nicht ganz, wie ich den rest der gleichung rausbekomme.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:19 Mo 16.06.2008 | | Autor: | hase-hh |
Moin,
hmm, ich versuche mal aus deinen Angaben eine Antwort zu geben...
> Die Punkte von A, B und C konnte man ablesen und so in die
> allgemeine Gleichung der Funktion einsetzen, wobei ich
> zumindesten schon einmal rausbekommen habe, das a0=4
> A(0/4) B(4/0) C(2/1)
> dann f'(x)=m macht auch sinn und die f'(4)=1 dann auch.
> nur diese f'(0)=-1 sagt mir nichts.
Ich nehme mal an, dass du hier f ' (4) = - 1 meinst.
"Diese soll in A und B tangential in die alte Straße münden"
Die Steigung der Tangente, die ja durch A und B gehen soll, ist ja immer m.
=> f ' (4) = -1 und f ' (0) = -1
Aus deinen Bedingungen erhältst du vier Ansatzgleichungen...
f(x)= [mm] a4x^4 +a3x^3 +a2x^2 +a1^x [/mm] +a0
f(0) = 4 => a0=4
f(4)=0 => 0 = 256a4 + 64a3 +16a2 +4a1 +4
f(2)=1 => 1 = 16a4 +8a3 +4a2 +2a1 +4
f ' (x) = [mm] 4*a4x^3 +3*a3x^2 [/mm] +2*a2x +a1
usw.
Ich könnte die Steigung der Geraden z.B: über die Sekantensteigung ermitteln:
m = [mm] \bruch{y2 -y1}{x2 -x1}
[/mm]
Da ich ja A und B gegeben habe, kann ich einsetzen
m = [mm] \bruch{0 -4}{4 -0} [/mm] = -1
Vielleicht meinst du das?
gruß
wolfgang
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Hallo, es handelt sich nur um eine Funktion 4. Grades:
(0; 4) ergibt [mm] 4=a_0
[/mm]
(4; 0) ergibt [mm] 0=256a_4+64a_3+16a_2+4a_1+a_0
[/mm]
(2; 1) ergibt [mm] 1=16a_4+8a_3+4a_2+2a_1+a_0
[/mm]
f'(0)=-1 ergibt [mm] -1=a_1
[/mm]
f'(4)=-1 ergibt [mm] -1=256a_4+48a_3+8a_2+a_1
[/mm]
vereinfache deine Gleichungen noch, seztze [mm] a_0 [/mm] und [mm] a_1 [/mm] ein, du bekommst drei Gleichungen mit drei Unbekannten,
[Dateianhang nicht öffentlich]
Farbe grün ist die Umgehungstraße
Steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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