Funktionsgleichung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:36 Fr 11.02.2005 | | Autor: | Ch28 |
Hallo, ich habe ein kleines Problem mit folgender Aufgabe:
Gesucht wird eine Funktion 4. Grades, deren Graph achsensymmetrisch zur Ordinaten ist, den Wendepunkt (1/0) besitzt und bei der die Wendetangenten orthogonal sind.
Ich finde nur zwei der erforderlichen drei Bedingungen.
f(1)=0
f"(1)=0
Kann mir jemand weiterhelfen und mir die dritte Bedingung nennen?
Vielen Dank,
Ch28
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.mathe-profis.de/forum/thread.php?threadid=1061&sid=b4b1b9f73c298a2c32121b9c5e01d38a
|
|
| |
|
Hallo Namensvetterin! 
Erstmal: ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Gesucht wird eine Funktion 4. Grades, deren Graph
> achsensymmetrisch zur Ordinaten ist, den Wendepunkt (1/0)
> besitzt und bei der die Wendetangenten orthogonal sind.
>
> Ich finde nur zwei der erforderlichen drei Bedingungen.
>
> f(1)=0
> f"(1)=0
>
> Kann mir jemand weiterhelfen und mir die dritte Bedingung
> nennen?
Meinst du denn, drei Bedingungen reichen?
Jedenfalls stimmt das schon mal, was du da geschrieben hast. Eine recht einfache Sache hast du übersehen:
Wenn die Funktion achsensymmetrisch sein soll, dann darf sie nur gerade Exponenten enthalten. Falls du das noch nicht wusstest, kannst du es dir so vorstellen: für die Achsensymmetrie muss ja gelten: f(x)=f(-x). Wenn du nun negative x-Werte einsetzt, so wird das Minus durch gerade Exponenten quasi verschluckt, denn [mm] (-x)^2=x^2 [/mm] oder [mm] (-x)^4=x^4, [/mm] denn "Minus mal Minus gleich Plus"!. Wenn du nun aber ungerade Exponenten hast, dann bleibt das Minus erhalten, denn [mm] (-x)^3=-(x^3)=-x^3\not=x^3!
[/mm]
Somit fallen bei deiner allgemeinen Funktionsgleichung, die du dir hoffentlich schon aufgeschrieben hast, schonmal zwei Koeffizienten weg:
[mm] f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e
[/mm]
[mm] \to f(x)=ax^4+cx^2+e
[/mm]
Nun sollen noch die Wendetangenten orthogonal sein. Im Moment kann ich mir das nur vorstellen, dass die eine dann die Steigung 1 und die andere die Steigung -1 hat - genau erklären kann ich das nicht, aber zeichne es dir doch mal auf (die Funktion ist ja achsensymmetrisch!). Und aufgrund der Achsensymmetrie hast du auch noch einen zweiten Wendepunkt gegeben: (-1/0). Das wäre also noch eine weitere Bedingung.
Und für die Wendetangenten kannst du dann noch schreiben:
f'(1)=1
und f'(-1)=-1
oder (ich bin mir da im Moment noch nicht so gaanz sicher, aber theoretisch müsste es da zwei Möglichkeiten geben)
f'(1)=-1
und f'(-1)=1
Ich hatte die Aufgabe gerade schon mal gerechnet, beim Schreiben jetzt aber einen Fehler entdeckt, sonst hätte ich dir meine Lösung zur Kontrolle auch schon mal geschrieben.
Jetzt kannst du erstmal alleine weiterprobieren und dich dann wieder melden.
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
P.S.: Vielleicht hilft dir auch das hier weiter:  Steckbriefaufgaben
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:33 Fr 11.02.2005 | | Autor: | dominik |
Hallo informix!
> Sie können genauso gut auch [mm]\bruch{3}{4}[/mm] und [mm]\bruch{-4}{3}[/mm]
> sein, Hauptsache ihr Produkt ergibt -1 ! Denn dies ist die Bedingung für orthogonale Geraden.
Da hast du Recht, aber zusätzlich muss die Symmetrie zur y-Achse erfüllt sein, also müssen beide Steigungen betragsmässig gleich gross sein, die eine negativ, die andere positiv, und das klappt eben nur bei [mm] \pm 1[/mm].
Die Steigungen [mm]\bruch{3}{4}[/mm] und [mm]\bruch{-4}{3}[/mm] geben zwar als Produkt -1, sind aber nicht symmetrisch in Bezug auf die y-Achse.
Viele Grüsse
dominik
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:03 Fr 11.02.2005 | | Autor: | informix |
Hallo dominik,
>
> > Sie können genauso gut auch [mm]\bruch{3}{4}[/mm] und
> [mm]\bruch{-4}{3}[/mm]
> > sein, Hauptsache ihr Produkt ergibt -1 ! Denn dies ist
> die Bedingung für orthogonale Geraden.
>
> Da hast du Recht, aber zusätzlich muss die Symmetrie zur
> y-Achse erfüllt sein, also müssen beide Steigungen
> betragsmässig gleich gross sein, die eine negativ, die
> andere positiv, und das klappt eben nur bei [mm]\pm 1[/mm].
> Die
> Steigungen [mm]\bruch{3}{4}[/mm] und [mm]\bruch{-4}{3}[/mm] geben zwar als
> Produkt -1, sind aber nicht symmetrisch in Bezug auf die
> y-Achse.
ok, gebe mich geschlagen. Ihr habt ja recht!
Aber mir fiel der Vorschlag von Bastiane zu sehr "vom Himmel", da habe ich vergessen nachzudenken.
Wenn f achsensymmetrisch ist, ist f' punktsymmetrisch,
darum gilt: f'(-x) = - f'(x) oder anders: |f'(-x)| = |f'(x)| .
So ist's dann wohl korrekt begründet.
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal!
Ich habe es jetzt nochmal gerechnet und erhalten zwei Lösungen:
wenn man f'(1)=1 und f'(-1)=-1 setzt, erhält man:
[mm] f(x)=-\bruch{1}{8}x^4+\bruch{3}{4}x^2-\bruch{5}{8},
[/mm]
setzt man f'(1)=-1 und f'(-1)=1, so ist der Graph an der x-Achse gespiegelt und es ergibt sich:
[mm] f(x)=\bruch{1}{8}x^4-\bruch{3}{4}x^2+\bruch{5}{8}.
[/mm]
Meiner Meinung nach gibt es hier also keine eindeutige, sondern zwei mögliche Lösungen.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:53 Fr 11.02.2005 | | Autor: | dominik |
Vorbemerkung: Es geht hier darum zu zeigen, dass die Lösungen auch "systematisch" gefunden werden können. Meiner Meinung nach ist die Überlegung von Bastiane - [mm]f'(1)= \pm 1[/mm] und [mm]f'(-1)= \mp 1[/mm] zu setzen - aus der Anschauung legitim, weil es aus Symmetriegründen keine andere Wahl gibt!
Es gibt zwei zu einander symmetrische Funktionen:
[mm]f(x)=ax^4+bx^2+c[/mm]
[mm]f'(x)=4ax^3+2bx[/mm]
[mm]f"(x)=12ax^2+2b[/mm]
[mm]WP_1(1/0) \Rightarrow WP_2(-1/0)[/mm] wegen der Symmetrie zur y-Achse
Drei Bedingungen:
[mm]1. \qquad f(1)=0 \Rightarrow a+b+c=0[/mm]
[mm]2. \qquad f"(1)=0 \Rightarrow 12a+2b=0 \gdw 6a+b=0[/mm]
[mm] \qquad \qquad f"(-1)=0[/mm] gibt wegen des geraden Exponenten die selbe Gleichung
[mm]3. \qquad f'(1)*f'(-1)=-1 \gdw (4a+2b)*(-4a-2b)=-1 \gdw (4a+2b)*[-(4a+2b)]=-1 \gdw (4a+2b)^2=1 \gdw 4a+2b= \pm 1[/mm]
(Das Produkt der beiden Steigungen ist gleich -1, weil die Tangenten senkrecht auf einander stehen.)
Also:
[mm]1. \qquad a+b+c=0[/mm]
[mm]2. \qquad 6a+b=0[/mm]
[mm]3. \qquad 4a+2b= \pm 1[/mm]
2. Gleichung mit 2 erweitern, davon die 3. wegzählen:
[mm]4. \qquad 12a-4a= \mp 1 \Rightarrow a= \mp \bruch{1}{8}[/mm]
[mm]2. \qquad 6a+b=0 \Rightarrow b=-6a= \pm \bruch{3}{4}[/mm]
[mm]1. \qquad a+b+c=0 \Rightarrow c=-a-b= \pm \bruch{1}{8} \mp \bruch{3}{4}= \mp \bruch{5}{8}[/mm]
Achtung: Es ist wesentlich, ob es [mm] \pm Zahl[/mm] lautet oder [mm] \mp Zahl[/mm]. Es ist auf die Reihenfolge der Vorzeichen zu achten: die oberen gehören jeweils zusammen, und die unteren.
Somit gibt es die beiden Funktionen, die schon von Bastiane entdeckt worden sind:
[mm]f_1(x)=\bruch{1}{8}x^4- \bruch{3}{4}x^2+ \bruch{5}{8}[/mm] und
[mm]f_2(x)=-\bruch{1}{8}x^4+ \bruch{3}{4}x^2- \bruch{5}{8}[/mm]
[mm]f_1[/mm] ist rot eingezeichnet, [mm]f_2[/mm] blau; es ist [mm]f_2=-f_1[/mm]: Symmetrie zur x-Achse. Für [mm]f_2[/mm] sind die beiden Wendetangenten (Tangenten in den Wendepunkten) eingezeichnet. Man sieht gut, dass sie sich (auf der y-Achse; Symmetrie!) rechtwinklig schneiden.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Viele Grüsse
dominik
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
|
|
|
|
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]"){kind=small}
