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Funktionsdiskussion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:35 Fr 14.05.2010
Autor: kushkush

Aufgabe
Die Funktion [mm] $f:y=\frac{ax^{2}+bx+c}{x+d}$ [/mm] besitzt im Punkt $M(4/6)$ ein Extremum. Zudem hat sie eine schiefe Asymptote mit Steigung 0.5 sowie eine Polstelle bei $x = 2$.
Bestimme $a,b,c$ und $d $und diskutiere anschliessend $f$ (Definitionsbereich Nullstellen, Extremalpunkte, Wendepunkte, Asymptoten, Graph). Falls $a,b,c$ und $d$ nicht berechnet werden können, verwende man für die Diskussion die Werte: $a = 0.5$, $b = 2$, $c = -4$ und $d = -2$

hallo,


das erste was man ablesen kann ist die Polstelle, das heisst schon mal $d=2$ bzw.

[mm] $f:y=\frac{ax^{2}+bx+c}{x-2}$ [/mm]

es gilt ja auch $f'(4)=0$:

[mm] \frac{16a-16a-2b-c}{(x-2)^{2}}=0 [/mm]

wobei der Nenner ja weggelassen werden kann, da es reicht, wenn der Zähler $0$ wird. Also:

[mm] $4x^{2}-16a-2b-c [/mm] = 0 $

$-c=2b$



und $f(4)=6$ gilt ja auch noch:

[mm] \frac{16a+4b+c}{2}=6 [/mm]

$16a+4b+c=12$


So, und was mir jetzt noch fehlt ist die Asymptotensteigung zu interpretieren!

Wie mache ich das?


Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt und bin für jede Antwort dankbar.

        
Bezug
Funktionsdiskussion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:55 Fr 14.05.2010
Autor: schachuzipus

Hallo,

> Die Funktion [mm]f:y=\frac{ax^{2}+bx+c}{x+d}[/mm] besitzt im Punkt
> [mm]M(4/6)[/mm] ein Extremum. Zudem hat sie eine schiefe Asymptote
> mit Steigung 0.5 sowie eine Polstelle bei [mm]x = 2[/mm].
> Bestimme [mm]a,b,c[/mm] und [mm]d [/mm]und diskutiere anschliessend [mm]f[/mm]
> (Definitionsbereich Nullstellen, Extremalpunkte,
> Wendepunkte, Asymptoten, Graph). Falls [mm]a,b,c[/mm] und [mm]d[/mm] nicht
> berechnet werden können, verwende man für die Diskussion
> die Werte: [mm]a = 0.5[/mm], [mm]b = 2[/mm], [mm]c = -4[/mm] und [mm]d = -2[/mm]
>  hallo,
>
>
> das erste was man ablesen kann ist die Polstelle, das
> heisst schon mal [mm]d=2[/mm]

Du meinst [mm] $d=\red{-2}$ [/mm]

> bzw.
>  
> [mm]f:y=\frac{ax^{2}+bx+c}{x-2}[/mm]
>
> es gilt ja auch [mm]f'(4)=0[/mm]:
>  
> [mm]\frac{16a-16a-2b-c}{(x-2)^{2}}=0[/mm]
>  
> wobei der Nenner ja weggelassen werden kann, da es reicht,
> wenn der Zähler [mm]0[/mm] wird. Also:
>
> [mm]4x^{2}-16a-2b-c = 0[/mm]
>  
> [mm]-c=2b[/mm] [ok]
>  
>
>
> und [mm]f(4)=6[/mm] gilt ja auch noch:
>  
> [mm]\frac{16a+4b+c}{2}=6[/mm]
>  
> [mm]16a+4b+c=12[/mm] [ok]
>  
>
> So, und was mir jetzt noch fehlt ist die Asymptotensteigung
> zu interpretieren!

Was passiert denn mit f für [mm] $x\to\infty$? [/mm]

Du hast bisher [mm] $f(x)=\frac{ax^2+bx+c}{x-2}=\frac{ax\cdot{}\left(x+\frac{b}{a}+\frac{c}{ax}\right)}{x\cdot{}\left(1-\frac{2}{x}\right)}$ [/mm]

Edit: vllt. schlauer, nur x auszuklammern:

[mm] $f(x)=\frac{x\cdot{}\left(ax+b+\frac{c}{x}\right)}{x\cdot{}\left(1-\frac{2}{x}\right)}$ [/mm]

>
> Wie mache ich das?

Wogegen strebt das für [mm] $x\to\infty$? [/mm] Gegen eine Gerade! Welche? Und die hat laut Vor. die Steigung [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] ...

>
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt und
> bin für jede Antwort dankbar.

Gruß

schachuzipus

Bezug
                
Bezug
Funktionsdiskussion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:11 Fr 14.05.2010
Autor: kushkush

hallo,

wenn x gegen [mm] \infty [/mm] strebt hätte ich gesagt dass $ax$ übrigbleibt... also dass a = [mm] \frac{1}{2} [/mm] sein muss!

Nur verwirrt mich das gerade weil man doch für die Asymptote die Polynomdivision durch den Nenner machen muss????



danke schachuzipus

Bezug
                        
Bezug
Funktionsdiskussion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:23 Fr 14.05.2010
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> hallo,
>
> wenn x gegen [mm]\infty[/mm] strebt hätte ich gesagt dass [mm]ax[/mm]
> übrigbleibt... also dass a = [mm]\frac{1}{2}[/mm] sein muss! [ok]
>
> Nur verwirrt mich das gerade weil man doch für die
> Asymptote die Polynomdivision durch den Nenner machen
> muss????

Ja, dann mache das doch mal...

[mm] $(ax^2+bx+c):(x-2)=ax+...$ [/mm]

Kommt doch auch ne Gerade mit Steigung a bei rum ...

>  
>
>
> danke schachuzipus

Gruß

schachuzipus

Bezug
                                
Bezug
Funktionsdiskussion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:29 Fr 14.05.2010
Autor: kushkush

ok danke... wenn ich allgemein Asymptoten zu einer Funktion suche;


dann, wenn diese gebrochen ist:

Polynomdivision und den "Restterm" weglassen

und wenn sie nicht gebrochen ist:

grenzwertbetrachtung mit [mm] $-\infty$ [/mm] und [mm] $\infty$ [/mm] ?



doch wie erhalte ich die Asymptoten die waagrecht liegen? also wenn zum Beispiel x=0 eine Asymptote ist .... weil durch die Polynomdivision erhalte ich ja immer nur die y-Asymptote??

danke!!

Bezug
                                        
Bezug
Funktionsdiskussion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:55 Fr 14.05.2010
Autor: ms2008de

Hallo,
> ok danke... wenn ich allgemein Asymptoten zu einer Funktion
> suche;
>
>
> dann, wenn diese gebrochen ist:
>
> Polynomdivision und den "Restterm" weglassen
>
> und wenn sie nicht gebrochen ist:
>
> grenzwertbetrachtung mit [mm]-\infty[/mm] und [mm]\infty[/mm] ?
>
>
>
> doch wie erhalte ich die Asymptoten die waagrecht liegen?

Du meinst wohl senkrechte Asymptoten.
Also über Polstellen wissen wir doch Folgendes:
Ist [mm] x_{0} [/mm] Polstelle einer gebrochenrationalen Funktion f, dann gilt
[mm] \limes_{x\rightarrow x_{0}} [/mm] |f(x)| = [mm] \infty [/mm] und die Gerade mit der Gleichung x= [mm] x_{0} [/mm] ist senkrechte Asymptote des Graphen von f. In dem Fall hast du also eine senkrechte Asymptote bei x=2.

Viele Grüße

Bezug
                                                
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Funktionsdiskussion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:50 Sa 15.05.2010
Autor: kushkush

danke schachuzipus und ms2008de

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