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Funktionsdiskussion: Parabel 2.Ordnung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:06 Sa 10.06.2006
Autor: troniac

Aufgabe
Gegeben Parabel 2. Ordnung die durch den Punkt [mm] P_1(-2|0) [/mm] geht und einen Hochpunkt in [mm] P_2(0|5) [/mm] hat.
Gegeben ist die Funktionsgleichung
[mm] $f(x)=ax^2+bx+c$ [/mm]

Gesucht sind die Unbekannten
$ a= $
$ b= $
$ c= $

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Wie löse ich diese Aufgabe am geschicktesten?

Ist es sinnvoll ein Linearesgleichungsystem zu benutzen, da ich keine Lösung gefunden habe für:
$-4a-2b+c = 0$
$4a+2b+c=0$
$c=5$

Ich habe bereits einen Ansatz, den ich hier mal zum besten geben möchte:

Dafür brauche ich die Ableitungen der Funktion $f(x)$
[mm] $f(x)=ax^2+bx+c$ [/mm]
$f'(x)=2ax+b$
$f''(x)=2a$
_________________________

Habe dann quasi die Koordinaten aus [mm] $P_1$ [/mm] und [mm] $P_2$ [/mm] in die Funktion $f(x)$ und in $f'(x)$ eingesetzt und habe somit folgendes erhalten:

(1) [mm] $a*(-2)^2+b*(-2)+c=0$ [/mm]
(2) [mm] $2^2*a(-2)^2+b=0$ [/mm]
und
(3) $ a * [mm] 0^2+b*0+c=5 [/mm] $  [mm] \Rightarrow [/mm] $ c = 5 $
(4) $ 2*a*0+b=5 $  [mm] \Rightarrow [/mm] $ b = 5 $

Nun habe ich $ c $ und $ b $ in (1) eingesetzt und habe somit das Gleichungsystem
$ f(2) = 0 = -4a - [mm] 2\cdot{}5+5 [/mm] $ erhalten und aufgelößt kommt folgendes heraus
$ f(2) = 0 = -4a - [mm] 2\cdot{}5+5 [/mm] | [mm] Z\cdot{} [/mm] $
$ f(2) = 0 = -4a - 10+5 | Z+ $
$ f(2) = 0 = -4a - 5 | +5 $
$ f(2) = 5 = -4a | / (-4) $
$ f(2) = -1.25 = a $  [mm] \Rightarrow [/mm] $ a = -1.25 $  [mm] \Rightarrow [/mm] $ f(x) = -1.25x+5 $

Das wäre dann die gesuchte Parabelfunktion.

Hoffe ich habe das soweit richtig gemacht oder habe ich mich irgend wo vertan.

herzliche Grüße
Tobias
        
Bezug
Funktionsdiskussion: Bestimmungsgleichungen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:14 Sa 10.06.2006
Autor: Loddar

Hallo troniac,

[willkommenmr] !!


Wenn Du aus Deiner Parabel auch wirklich eine Parbale mit $f(x) \ = \ [mm] -1.25*x^{\red{2}}+5$ [/mm] machst, stimmt Dein Ergebnis. Dein Rechenweg bzw. Deine Bestimmungsgleichungen erschließen sich mir aber überhaupt nicht [aeh] .


[mm]P_1 \ ( \ \red{-2} \ | \ \blue{0} \ )[/mm]    [mm] $\Rightarrow$ $f(\red{-2}) [/mm] \ = \ [mm] a*(\red{-2})^2+b*(\red{-2})+c [/mm] \ = \ 4a-2b+c \ = \ [mm] \blue{0}$ [/mm]


[mm]P_2 \ ( \ \red{0} \ | \ \blue{5} \ )[/mm]    [mm] $\Rightarrow$ $f(\red{0}) [/mm] \ = \ [mm] a*(\red{0})^2+b*\red{0}+c [/mm] \ = \ c \ = \ [mm] \blue{5}$ [/mm]


Hochpunkt in [mm]P_2 \ ( \ \red{0} \ | \ 5 \ )[/mm]     [mm] $\Rightarrow$ $f'(\red{0}) [/mm] \ = \ [mm] 2a*\red{0}+b [/mm] \ = \ b \ = \ 0$


Gruß
Loddar

Bezug
                
Bezug
Funktionsdiskussion: Korrektur
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:23 Sa 10.06.2006
Autor: troniac

Sorry ich habe mich im Ergebnis geirrt.

Muss doch $ f(x) = [mm] -1.25x^2+5 [/mm] $
Bezug
                
Bezug
Funktionsdiskussion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:27 Sa 10.06.2006
Autor: troniac


> Hallo troniac,
>  
> [willkommenmr] !!
>  
>
> Wenn Du aus Deiner Parabel auch wirklich eine Parbale mit
> [mm]f(x) \ = \ -1.25*x^{\red{2}}+5[/mm] machst, stimmt Dein
> Ergebnis. Dein Rechenweg bzw. Deine Bestimmungsgleichungen
> erschließen sich mir aber überhaupt nicht [aeh] .
>  
>
> [mm]P_1 \ ( \ \red{-2} \ | \ \blue{0} \ )[/mm]    [mm]\Rightarrow[/mm]    
> [mm]f(\red{-2}) \ = \ a*(\red{-2})^2+b*(\red{-2})+c \ = \ 4a-2b+c \ = \ \blue{0}[/mm]
>  
>
> [mm]P_2 \ ( \ \red{0} \ | \ \blue{5} \ )[/mm]    [mm]\Rightarrow[/mm]    
> [mm]f(\red{0}) \ = \ a*(\red{0})^2+b*\red{0}+c \ = \ c \ = \ \blue{5}[/mm]
>  
>
> Hochpunkt in [mm]P_2 \ ( \ \red{0} \ | \ 5 \ )[/mm]     [mm]\Rightarrow[/mm]  
>  [mm]f'(\red{0}) \ = \ 2a*\red{0}+b \ = \ b \ = \ 0[/mm]
>  

Danke schon mal für deine Antwort. Das Verfahren hab ich von einer Lehrerin die sowas ihren Schülern bei bringt. Ich habe das exakte vorgehen dieser hier aufgeschrieben. Daher ist ja meine Frage wie ich das anders machen könnte. Da ich auch noch Schüler bin und das anderen gerne erklären möchte.

herzliche grüße
Tobias
Bezug
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