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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:56 Sa 26.03.2005 | | Autor: | gem |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Hallo Leute
folgendes problem stellt sich mir. Ich habe eine exponentialfunktion
[mm] e^{x^2} [/mm] oder anders geschrieben x^(x)². Nun bräuchte ich mal ein Muster wie man so eine Aufgabe richtig löst, damit ich auf dieses immer zurückgreifen kann. Außerdem wäre es cool wenn ich noch Fragen stellen könnte wenn ich was an der Musterlösung nicht verstehe. Ich schreibe jetzt erst einmal noch hin was ich so raus habe, weiß aber nicht ob das richtig ist.
Also folgende Sachen müssen untersucht werden
1) Def. Bereich
2) Wertebereich
3) Stetigkeit (das verstehe ich überhaupt nicht wie man das untersucht)
4) Differenzierbarkeit (verstehe ich auch nicht)
5) Symetrie
6) Asymptotik
7) Nullstellen
8) Extrema
9) Wendepunkte
-----------------------------------------------------------------------------------------------
Ok das soll alles untersucht werden und hier sind meine Lösungen zu den einzelnen Punkten.
1) Der Definitionsbereich ist R
2) W= R=>1(glaube größer gleich wird so ausgedrückt wenn nicht bitte verbessern)
3)Da habe ich keinen Plan von wie man das rausfindet
4) gilt as gleiche wie bei 3
5) der Graph müsste Achsensymetrisch sein, da da f(x)=f(-x) ist
6 lim f(x) = +unendlich wenn x gegen +unendlich läuft und Lim f(x)= +unendlich wenn x gegen - unendlich läuft
7 Nullstellen gibt es nicht da die Funktion niemals null sein kann
8) Habe ich nicht hinbekommen( wäre für eine genaue schilderung wie das geht dankbar
9) Wendepunkte habe ich auch nicht hinbekommen wäre auch hier für eine genau schilderung ehr dankbar.
Hoffe ihr könnt mir helfen.
gruß paul
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:07 Sa 26.03.2005 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Paul
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
>
> Hallo Leute
>
> folgendes problem stellt sich mir. Ich habe eine
> exponentialfunktion
>
> [mm]e^{x^2}[/mm] oder anders geschrieben x^(x)². Nun bräuchte ich
> mal ein Muster wie man so eine Aufgabe richtig löst, damit
> ich auf dieses immer zurückgreifen kann. Außerdem wäre es
> cool wenn ich noch Fragen stellen könnte wenn ich was an
> der Musterlösung nicht verstehe. Ich schreibe jetzt erst
> einmal noch hin was ich so raus habe, weiß aber nicht ob
> das richtig ist.
>
Was du mit x^(x)² meinst, verstehe ich nicht. Ich gehe davon aus, dass deine Funktion die Gleichung
[mm] f(x) = e^{x^2} [/mm] hat.
>
> Also folgende Sachen müssen untersucht werden
>
> 1) Def. Bereich
> 2) Wertebereich
> 3) Stetigkeit (das verstehe ich überhaupt nicht wie man
> das untersucht)
> 4) Differenzierbarkeit (verstehe ich auch nicht)
> 5) Symetrie
> 6) Asymptotik
> 7) Nullstellen
> 8) Extrema
> 9) Wendepunkte
>
> -----------------------------------------------------------------------------------------------
> Ok das soll alles untersucht werden und hier sind meine
> Lösungen zu den einzelnen Punkten.
>
> 1) Der Definitionsbereich ist R
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> 2) W= R=>1(glaube größer gleich wird so ausgedrückt wenn
> nicht bitte verbessern)
Ich kenne die Schreibweise [mm] \IR^{\ge 1} [/mm]
> 3)Da habe ich keinen Plan von wie man das rausfindet
Das Verfahren hängt davon ab, was ihr im Unterricht gemacht habt. Ich denke mal es reicht, wenn du folgendermaßen begründest:
[mm] h(z)=e^z [/mm] und [mm] g(x)=x^2 [/mm] sind stetige Funktionen auf ganz [mm] \IR,
[/mm]
also ist auch f(x) = h(g(x)) oder anders formuliert: Wenn man zwei stetige Funktionen hintereinander ausführt, erhält man wieder eine stetige Funktion.
> 4) gilt as gleiche wie bei 3
Die Begründung ist entsprechend wie bei 3).
> 5) der Graph müsste Achsensymetrisch sein, da da
> f(x)=f(-x) ist
> 6 lim f(x) = +unendlich wenn x gegen +unendlich läuft und
> Lim f(x)= +unendlich wenn x gegen - unendlich läuft
Musst du das noch genauer begründen?
> 7 Nullstellen gibt es nicht da die Funktion niemals null
> sein kann
> 8) Habe ich nicht hinbekommen( wäre für eine genaue
> schilderung wie das geht dankbar
Hier musst du erst die Ableitung bilden (Kettenregel!).
[mm] f'(x) = 2x e^{x^2} [/mm]
Dann bestimmst du die Nullstellen der 1. Ableitung und überprüfst mit Hilfe der 2.Ableitung, ob es sich um Extrema handelt, bzw. welche Art von Extrema vorliegt.
> 9) Wendepunkte habe ich auch nicht hinbekommen wäre auch
> hier für eine genau schilderung ehr dankbar.
Hier brauchst du die Nullstellen der 2. Ableitung (Kettenregel und Produkktregel)
Gruß Sigrid
>
> Hoffe ihr könnt mir helfen.
>
> gruß paul
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:03 Di 29.03.2005 | | Autor: | gem |
Hallo Sigrid vielen Dank für deine Antwort, du hast mir schon weitergeholfen, da ich jetzt schon einmal weiß, was ich kann.
Aber es sind immer noch Fragen offen.
1.) Was ist eigentlich eine stetige Funktion, was sind die Kriterien dafür, dass es eine stetige Funktion ist. Wie kann ich das erkennen. Ist x³ auch eine stetige Funktion ?
2.) Die 1. Ableitung habe ich jetzt verstanden. Die bekomme ich hin, aber die 2 bereitet mir Kopfzerbrechen. Ich habe einmal versucht die 2. Ableitung hinzubekommen, weiß aber nicht ob die richtig ist.
2* [mm] e^{x^2} [/mm] $+2x*2x* [mm] e^{x^2} [/mm] $
Wenn das Ergebnis falsch ist, brauche ich eine Erklärung wie man auf das richtige Egebnis kommt.
3.) Mit den extrema komme ich einfach nicht klar. Könntest du mir da einmal bitte den gesamten Lösungsweg erklären. ich weiß nur das ich
0=2x* [mm] e^{x^2} [/mm] $ brauche und nun auflösen muss. Aber der term [mm] e^{x^2} [/mm] $ kann doch nie null werden denke ich???
Aber ich habe noch etwas positives zu berichten, ich habe die Wendepunkte hinbekommen.
da muss ich ja einfach 0 in die 2.Ableitung einsetzen und dann bekomme ich da -0,5=x² heraus und das ist eine falsche Aussage und somit gibt es keine Wendestellen
ok ich hoffe du kannst mir meine Fragen beantworten
gruß paul
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:02 Di 29.03.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Paul!
> 1.) Was ist eigentlich eine stetige Funktion, was sind die
> Kriterien dafür, dass es eine stetige Funktion ist. Wie
> kann ich das erkennen. Ist x³ auch eine stetige Funktion ?
Anschaulich (bildlich) formuliert, sind Funktionen dann stetig, wenn man die entsprechende Kurve zeichnen kann, ohne den Stift abzusetzen.
Etwas mehr / Kriterien findest Du hier:  stetig
Ich weiß nicht genau, wie Ihr sonst Stetigkeit definiert habt.
Da aber sowohl die e-Funktion als auch alle ganz-rationalen Funktionen (Typ: $f(x) \ = \ [mm] a_n*x^n [/mm] + [mm] a_{n-1}*x^{n-1} [/mm] + ... + [mm] a_1*x [/mm] + [mm] a_0$, [/mm] dazu gehört ja auch $y = [mm] x^3$) [/mm] in ganz [mm] $\IR$ [/mm] stetig sind, gilt das auch für unsere Funktion.
> 2.) Die 1. Ableitung habe ich jetzt verstanden. Die bekomme
> ich hin, aber die 2 bereitet mir Kopfzerbrechen. Ich habe
> einmal versucht die 2. Ableitung hinzubekommen, weiß aber
> nicht ob die richtig ist.
>
> 2* [mm]e^{x^2}[/mm] [mm]+2x*2x* e^{x^2}[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Super. Ist richtig!
Wenn man jetzt noch $2 * [mm] e^{x^2}$ [/mm] ausklammert, wird's für die weitere Berechnung (z.B. Nullstellenermittlung dieser Ableitung) noch leichter ...
$f''(x) \ = \ 2 * [mm] e^{x^2} [/mm] * [mm] \left(1 + 2x^2\right)$
[/mm]
> 3.) Mit den extrema komme ich einfach nicht klar. Könntest
> du mir da einmal bitte den gesamten Lösungsweg erklären.
> ich weiß nur das ich
>
> 0=2x* [mm]e^{x^2}[/mm] brauche und nun auflösen muss. Aber der term [mm]e^{x^2}[/mm]
> kann doch nie null werden denke ich???
Da hast Du völlig recht! Es muß also gelten:
$2x * [mm] e^{x^2} [/mm] \ = \ 0$
Damit ein Produkt Null wird, muß (mind.) einer der Faktoren Null werden:
$2x \ = \ 0$ oder [mm] $e^{x^2} [/mm] \ = \ 0$
Wie Du schon festgestellt hast, hat die rechte Gleichung keine Lösung, da gilt: [mm] $e^z [/mm] \ > \ 0$ [mm] $\forall [/mm] \ z [mm] \in \IR$.
[/mm]
Es verbleibt also noch die linke Gleichung für mögliche Extremstellen ...
Diesen x-Wert kannst Du ja bestimmt ermitteln, oder? Dann noch als hinreichendes Kriterium in die 2. Ableitung einsetzen, um die Art des Extremums (Hochpunkt / Tiefpunkt) zu bestimmen.
> Aber ich habe noch etwas positives zu berichten, ich habe
> die Wendepunkte hinbekommen.
Prima!
> da muss ich ja einfach 0 in die 2.Ableitung einsetzen und
> dann bekomme ich da -0,5=x² heraus
Völlig richtig!
> und das ist eine falsche Aussage und somit gibt es keine Wendestellen.
Die Folgerung ist richtig, aber die Begründung stimmt nicht ganz.
Diese Gleichung [mm] $x^2 [/mm] \ = \ -0,5$ hat in [mm] $\IR$ [/mm] keine Lösung, da stets gilt:
[mm] $z^2 [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ 0$ [mm] $\forall [/mm] \ z [mm] \in \IR$
[/mm]
> ok ich hoffe du kannst mir meine Fragen beantworten
Ich hoffe, Deine Fragen sind nun beantwortet ...
Gruß
Loddar
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