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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:57 Mo 25.06.2007 | | Autor: | nelly89 |
| Aufgabe | x1= -3 x2= 1 x3=2 sind die Nullstellen einer Funktion f 3.Grades. Das Schaubild K von f verläuft durch den Punkt P (0/1,5).
Bestimmen sie die Funktionsgleichung. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich kann mit der Aufgabe nichts anfangen und weiss nicht wie ich anfangen soll... Könnte mir also jemand helfen und mir zeigen wie ich bei solch einer Aufgabe vorgehen muss ?
Das wäre lieb, Danke
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Hi Nelly,
erst einmal herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") *smile* !!!
> [mm] x_1=-3 [/mm]
> [mm] x_2= [/mm] 1
> [mm] x_3= [/mm] 2
> sind die Nullstellen einer Funktion f 3.Grades. Das Schaubild K von f verläuft durch den Punkt P
> (0/1,5). Bestimmen sie die Funktionsgleichung.
Du musst zu Lösung dieser Aufgabe im Wesentlichen zwei Dinge tun. Zum einen musst du die allgemeine Funktionsgleichung für Funktionen 3.Grades angeben. Diese lautet:
f(x) = [mm] ax^3 [/mm] + [mm] bx^2 [/mm] + cx + d
Zum anderen hast du sozusagen "Bedingungen" in der Aufgabe gegeben. Diese musst du vermathematisieren. Danach kannst du ein Lineares Gleichungssystem (LGS) erstellen und dieses dann auflösen. Dann hast du deine gesuchte Funktion. Soweit die Theorie. Jetzt die Praxis. Eine der Bedingungen ist ja, das eine Nullstelle bei [mm] x_1 [/mm] = 1 liegt. Mathematisch ausgedrückt wäre das ja:
f'(0) = 1
Dieses Prinzip auch bei den anderen Nullstellen anwenden. Für den Punkt P könnte man schreiben:
f(0) = 1,5
Wenn du alle Bedingungen aufgestellt hast, was nun kein Problem mehr sein dürfte, musst du diese in ein Gleichungssytem transformieren. Dazu benötigen wir die oben bereits angesprochenen allgemeine Funktionsgleichung 3.Grades! Du wendest jetzt die einzelnen Bedingungen auf die allgemeine Gleichung jeweils an, z.B.:
Bedingung: f(0) = 1,5 -> in Gleichung einsetzen: [mm] a(1,5)^3 [/mm] + [mm] b(1,5)^2 [/mm] + c(1,5) + d = 1,5
-> 3,375a + 2,25b + 1,5c + d
Dies wäre dann deine erste Gleichung für dein LGS. Nun noch die anderen ermitteln, und dann dein LGS auflösen das du ein Wert für a,b,c und d bekommst. Dann kannst du die Werte in die allgemeine Gleichung übertragen und hast dein gesuchtes Ergebnis...
Ich hoffe ich konnte es klar und einfach erklären?
Liebe Grüße
Analytiker
![[lehrer]](/images/smileys/lehrer.gif "[lehrer]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:46 Mo 25.06.2007 | | Autor: | Martinius |
Hallo Analytiker,
ich meine Dir ist ein Fehler unterlaufen. Du hast zweimal x und f(x) verwechselt.
Einmal ist f(1)=0.
Und wenn Du den Punkt (0/1,5) in dein Polynom einsetzt, erhälst Du:
f(0) = [mm] a(0)^{3} [/mm] + [mm] b(0)^{2} [/mm] + [mm] c(0)^{1} [/mm] + d = 1,5
Einfacher, also ohne LGS, geht es mit der Produktform eines Polynoms dritten Grades:
[mm]f(x) = a*(x-x_{1})*(x-x_{2})*(x-x_{3})[/mm]
wobei man für [mm] x_{1} [/mm] bis [mm] x_{3} [/mm] die Nullstellen einsetzt:
[mm]f(x)= a*(x+3)*(x-1)*(x-2)[/mm]
[mm]f(x)= a*(x^{3}+2*x+6)[/mm]
Dann setzt man den Punkt (0/1,5) ein, um a zu bestimmen:
[mm]f(0)= a*6 = 1,5[/mm]
[mm]a = \bruch{1}{4}[/mm]
[mm]f(x)= \bruch{1}{4}*(x^{3}+2*x+6)[/mm]
LG, Martinius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:03 Mo 25.06.2007 | | Autor: | nelly89 |
Vielen Dank...
Ich werde es jetzt einmal nach deinem Schema durchrechnen ...
Du hast mir schon sehr geholfen...
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