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| Aufgabe | Gegeben:
[mm] $$f:\IC \backslash \IR^{\le 0} \times \{ 0\} \to \IC \qquad [/mm] f:= [mm] \sqrt{|z|}\frac{z+|z|}{|z+|z||}$$
[/mm]
Zu zeigen: [mm] $f(w)^2=w, \; \quad\forall w\in [/mm] D$ |
Hallo,
eigentlich eine einfach Aufgabe. Leider kommt bei mir nie das Richtige heraus.
Wenn ich die Wurzel quadriere ergibt das $|w|$.
Der Zähler ergibt: [mm] $(w+|w|)^2=w^2+|w|^2+2w|w|$
[/mm]
Der Nenner: [mm] $|w+|w||^2=(w+|w|)\overline{(w+|w|)}=(w+|w|)(\overline{w}+|w|)
[/mm]
Damit könnte man einen Faktor im Zählere und Nenner kürzen. Aber es kommt nicht nur w heraus....
Danke!
Gruß Patrick
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:06 Di 05.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben:
> [mm]f:\IC \backslash \IR^{\le 0} \times \{ 0\} \to \IC \qquad f:= \sqrt{|z|}\frac{z+|z|}{|z+|z||}[/mm]
>
> Zu zeigen: [mm]f(w)^2=w, \; \quad\forall w\in D[/mm]
> Hallo,
>
> eigentlich eine einfach Aufgabe. Leider kommt bei mir nie
> das Richtige heraus.
>
> Wenn ich die Wurzel quadriere ergibt das [mm]|w|[/mm].
>
> Der Zähler ergibt: [mm](w+|w|)^2=w^2+|w|^2+2w|w|[/mm]
>
> Der Nenner:
> [mm]$|w+|w||^2=(w+|w|)\overline{(w+|w|)}=(w+|w|)(\overline{w}+|w|)[/mm]
>
> Damit könnte man einen Faktor im Zählere und Nenner
> kürzen. Aber es kommt nicht nur w heraus....
Doch !
Wir haben ; [mm] $f(w)^2=|w|* \bruch{w+|w|}{\overline{w}+|w|}$
[/mm]
Damit gilt: [mm] $f(w)^2=w [/mm] ~~ [mm] \gdw [/mm] ~~ |w|* [mm] \bruch{w+|w|}{\overline{w}+|w|}=w [/mm] ~~ [mm] \gdw [/mm] ~ ~ [mm] |w|w+|w|^2= w*\overline{w}+w|w| [/mm] ~ ~ [mm] \gdw [/mm] ~~ [mm] |w|^2= w*\overline{w}$
[/mm]
FRED
>
>
> Danke!
> Gruß Patrick
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Danke Fred.
Ich habe noch eine Frage und zwar nach der geometr. Interpretation dieser Funktion.
Also ich sehe, dass positive reelle Zahlen trivialerweise auf ihre Wurzel abgebildet werden. Aber was kann man sonst noch dazu sagen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:08 Di 05.04.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ich habe noch eine Frage und zwar nach der geometr.
> Interpretation dieser Funktion.
>
> Also ich sehe, dass positive reelle Zahlen trivialerweise
> auf ihre Wurzel abgebildet werden. Aber was kann man sonst
> noch dazu sagen?
Tipp: Schreibe z in der Polardarstellung [mm] $z=re^{i\phi}$.
[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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Danke für den Tip, Rainer.
Ich erhalte:
[mm] $$f=\sqrt{r}\frac{re^{i\varphi}+r}{|re^{i\varphi}+r|}=\sqrt{r}\frac{e^{i\varphi}+1}{|e^{i\varphi}+1|}$$
[/mm]
Aber was sagt mir das jetzt geometrisch?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:42 Mi 06.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
hier ein bildchen, abgebildet wurde ein Quadtat von -1 bis +1
die rote linie x=+1 übergehend in gelb bei der Geraden x=-1
die linien y=1 bis y=-1 von blau bis hellgrün
[Dateianhang nicht öffentlich]
gruss leduart
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:58 Mi 06.04.2011 | | Autor: | fred97 |
Schau mal da rein:
https://matheraum.de/read?t=503992
FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:30 Do 07.04.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Danke für den Tip, Rainer.
> Ich erhalte:
>
> [mm]f=\sqrt{r}\frac{re^{i\varphi}+r}{|re^{i\varphi}+r|}=\sqrt{r}\frac{e^{i\varphi}+1}{|e^{i\varphi}+1|}[/mm]
>
> Aber was sagt mir das jetzt geometrisch?
[mm] \sqrt{r}\frac{e^{i\varphi}+1}{|e^{i\varphi}+1|} = \sqrt{r}\frac{e^{i\varphi/2}(e^{i\varphi/2}+e^{-i\varphi/2})}{|e^{i\varphi/2}(e^{i\varphi/2}+e^{-i\varphi/2})|} = \sqrt{r} e^{i\varphi/2}\frac{e^{i\varphi/2}+e^{-i\varphi/2}}{|e^{i\varphi/2}+e^{-i\varphi/2}|} = \sqrt{r} e^{i\varphi/2} \frac{\cos(\varphi/2)}{|\cos(\varphi/2)|} = \sqrt{r} e^{i\varphi/2} \mathop{\mathrm{sgn}}\cos(\varphi/2) [/mm] .
Jetzt kannst du dir noch überlegen, dass das Vorzeichen der Signumfunktion nur für z aus der unteren Halbebene negativ ist. (Der Cosinus wird nie 0, weil negative reelle Werte von z nicht im Definitionsbereich von f liegen.)
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:08 Mi 06.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> Danke Fred.
>
> Ich habe noch eine Frage und zwar nach der geometr.
> Interpretation dieser Funktion.
>
> Also ich sehe, dass positive reelle Zahlen trivialerweise
> auf ihre Wurzel abgebildet werden. Aber was kann man sonst
> noch dazu sagen?
Nimm mal ein w [mm] \in [/mm] D. Dann ist $f(w) [mm] \ne [/mm] -f(w)$ und [mm] $(\pm f(w))^2=w$. [/mm] D.h.:
f(w) und -f(w)
sind die beiden Quadratwurzeln aus w.
In manchen Fällen kann man also die Wurzeln aus w mit f sehr einfach berechnen.
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:56 Mi 06.04.2011 | | Autor: | XPatrickX |
Vielen Dank für eure Hilfe.
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