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| Aufgabe | Geben Sie eine Möbiustransformation an, welche den verallgemeinerten Kreisring
G := {z [mm] \in \IC [/mm] : |z − 8| < 16, |z − 3| > 9}
auf einen Kreisring der Form {w [mm] \in \IC [/mm] : [mm] \delta [/mm] < |w| < 1} abbildet. Wie muss [mm] \delta [/mm] gewählt
werden? |
Hi,
ich muss die obige Aufgabe lösen. Ich habe versucht eine Möbiustransformation zu finden, die den äußeren Kreisring |z-8|=16 auf den Einheitskreis abbildet (so, dass die Orientierung den inneren Kreis auf das innere des Einheitskreises abbildet.
Als Punkte wählte ich (-8,8+16i,24) auf dem Ursprungskreis und (-1,i,1) auf dem Einheitskreis.
Ich erhalte als Abbildung [mm] w(z)=\bruch{1}{16}z-\bruch{1}{2}.
[/mm]
Dann wählte ich Punkte auf dem inneren Kreisring |z-3|=9, so dass dieser auf den Kreis [mm] |w|=\delta [/mm] abgebildet wird.
(-6,3-pi,12) -> [mm] (-\delta,-\delta i,\delta).
[/mm]
Ich erhalte hier als Abbildung [mm] w(z)=\bruch{\delta}{9}z-\bruch{\delta}{3}.
[/mm]
Nun gibt es kein [mm] \delta, [/mm] so dass beide Abbildungen identisch sind. Daher glaube ich, dass bereits die Wahl der Punkte ausschlaggebend für das Finden einer solchen Funktion sein muss.
Welche Tricks gibt es, die passenden Punkte zu finden? Oder muss ich nun alle Punkte als Unbekannte nehmen, und dann ein Monser-Gleichungssystem lösen?
Ich danke schon mal für eure Hilfe im voraus.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:57 So 06.05.2007 | | Autor: | BertanARG |
TIPPFEHLER KORRIGIERT
| Aufgabe | Geben Sie eine Möbiustransformation an, welche den verallgemeinerten Kreisring
G := {z [mm] \in \IC [/mm] : |z − 8| < 16, |z − 3| > 9}
auf einen Kreisring der Form {w [mm] \in \IC [/mm] : [mm] \delta [/mm] < |w| < 1} abbildet. Wie muss [mm] \delta [/mm] gewählt
werden? |
Hi,
ich muss die obige Aufgabe lösen. Ich habe versucht eine Möbiustransformation zu finden, die den äußeren Kreisring |z-8|=16 auf den Einheitskreis abbildet (so, dass die Orientierung den inneren Kreis auf das innere des Einheitskreises abbildet.
Als Punkte wählte ich (-8,8+16i,24) auf dem Ursprungskreis und (-1,i,1) auf dem Einheitskreis.
Ich erhalte als Abbildung [mm] w(z)=\bruch{1}{16}z-\bruch{1}{2}.
[/mm]
Dann wählte ich Punkte auf dem inneren Kreisring |z-3|=9, so dass dieser auf den Kreis [mm] |w|=\delta [/mm] abgebildet wird.
(-6,3-9i,12) -> [mm] (-\delta,-\delta i,\delta).
[/mm]
Ich erhalte hier als Abbildung [mm] w(z)=\bruch{\delta}{9}z-\bruch{\delta}{3}.
[/mm]
Nun gibt es kein [mm] \delta, [/mm] so dass beide Abbildungen identisch sind. Daher glaube ich, dass bereits die Wahl der Punkte ausschlaggebend für das Finden einer solchen Funktion sein muss.
Welche Tricks gibt es, die passenden Punkte zu finden? Oder muss ich nun alle Punkte als Unbekannte nehmen, und dann ein Monster-Gleichungssystem lösen?
Ich danke schon mal für eure Hilfe im voraus.
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Du könntest es so machen: Du schiebst die ganze Figur nach links, so daß 0 der Mittelpunkt des äußeren Kreises wird. Anschließend streckst du mit dem Faktor [mm]\frac{1}{16}[/mm]. Der äußere Kreis ist jetzt der Einheitskreis. Der innere Kreis wurde entsprechend mitverschoben und verkleinert. Er hat jetzt den Mittelpunkt [mm]- \frac{5}{16}[/mm] und den Radius [mm]\frac{9}{16}[/mm], seine Schnittpunkte mit der reellen Achse sind also [mm]- \frac{7}{8}[/mm] und [mm]\frac{1}{4}[/mm]. Bewirkt wird das Ganze durch die Abbildung
[mm]\varphi: \ \ z \mapsto \frac{1}{16} \, (z - 8)[/mm]
Und jetzt betrachtest du Möbiustransformationen, die den Einheitskreis als Fixkreis haben und keine bloßen Drehungen sind. Diese sind von der Form
[mm]w = \psi(z) = b \cdot \frac{dz + 1}{z + \bar{d}} \ \ \text{mit} \ \ |b| = 1 \, , \ |d| \neq 1[/mm]
Wenn es nun eine Abbildung [mm]\psi[/mm] wie gewünscht gibt, dann gibt es auch eine, bei der [mm]b = 1[/mm] ist. Denn der Faktor [mm]b[/mm] bewirkt ja nur eine Drehung um den Ursprung. Daher kannst du weiter spezialisieren:
[mm]w = \psi(z) = \frac{dz + 1}{z + \bar{d}} \ \ \text{mit} \ \ |d| \neq 1[/mm]
Jetzt mußt du nur noch dafür sorgen, daß der innere Kreis konzentrisch zum Einheitskreis wird. Dazu muß [mm] \left| \psi \left( - \frac{7}{8} \right) \right| [/mm] = [mm] \left| \psi \left( \frac{1}{4} \right) \right| [/mm] erfüllt sein. Das gibt dir eine Bedingung für [mm]d[/mm], die du so lösen mußt, daß nicht gerade [mm]|d| = 1[/mm] gilt. Versuche es mit einem reellen [mm]d[/mm].
[mm]f = \psi \circ \phi[/mm] löst dann dein Problem.
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Hi,
danke schonmal für die Antwort. Es hat hervorragend funktioniert. Für d erhalte ich als Lösung 2 und [mm] \bruch{1}{2}. [/mm] Und mit d=2 wird [mm] \delta=\bruch{2}{3}<1.
[/mm]
Knackpunkt war die Abbildung [mm] \Psi. [/mm] Mir ist bislang noch nicht klar, wie die Parameter der Möbiustransformation auf die Abbildungen einwirken.
Kannst du mir dazu ein Skript oder ein Buch empfehlen, oder selbst kurz erklären was welcher Parameter bewirkt?
[mm] \Psi=\bruch{az+b}{cz+d}.
[/mm]
Gerade am Beispiel der MT, die den Einheitskreis als Fixkreis beibehält könntest du es kurz veranschaulichen. Der Faktor b müsste den Kreis doch eigentlich strecken anstatt ihn zu drehen, zumindest für reelle b.
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Die spezielle Möbiustransformation [mm]z \mapsto az[/mm] mit [mm]a \neq 0[/mm] ist eine sogenannte Drehstreckung mit dem Ursprung als Dreh- und Streckzentrum. Am leichtesten siehst du das, wenn du [mm]a[/mm] und [mm]z[/mm] in Polarform schreibst. Und wenn zusätzlich [mm]|a| = 1[/mm] gilt, dann ist das eine reine Drehung um den Ursprung. Du darfst nicht nur an reelle [mm]a[/mm] denken, [mm]a[/mm] kann ein beliebiger komplexer Parameter sein! (Zum Beispiel beschreibt [mm]z \mapsto \operatorname{i} z[/mm] eine Drehung um 90° gegen den Uhrzeigersinn.)
Um die Möbiustransformationen
(*) [mm]z \mapsto w = \frac{az+b}{cz+d} \, , \ \ ad - bc \neq 0[/mm]
zu finden, die den Einheitskreis als Fixkreis haben, bin ich folgendermaßen vorgegangen: Wenn [mm]c=0[/mm] ist, dann geht es nach Einbindung von [mm]d[/mm] und Umbenennung der Parameter um die Möbiustransformation
[mm]w = az + b \, , \ \ a \neq 0[/mm]
Das ist eine Drehstreckung [mm]z \mapsto az[/mm] mit anschließender Verschiebung um [mm]b[/mm]. Für [mm]b \neq 0[/mm] kann eine solche niemals den Einheitskreis festlassen, daher muß [mm]b = 0[/mm] sein. Also handelt es sich in [mm]w = az[/mm] um eine Drehstreckung. Eine echte Streckung kann aber daran nicht beteiligt sein, wenn der Einheitskreis festbleiben soll. Daher folgt: [mm]|a| = 1[/mm], und [mm]w = az[/mm] ist eine reine Drehung. Unter den Möbiustransformationen (*) mit [mm]c = 0[/mm] lassen also nur die Drehungen den Einheitskreis fest. Eine solche Möbiustransformation ist aber für unser Problem nicht geeignet, da der kleinere Kreis bei einer Drehung um den Ursprung niemals in einen zum Einheitskreis konzentrischen Kreis übergeht.
Lange Rede, kurzer Sinn: Wir müssen in (*) [mm]c \neq 0[/mm] wählen. Nach Kürzen durch [mm]c[/mm] und Umbenennung der Parameter haben wir also
[mm]w = \frac{az+b}{z+d} \, , \ \ ad - b \neq 0[/mm]
zu untersuchen. Für [mm]z[/mm] auf dem Einheitskreis, d.h. [mm]z \bar{z} = 1[/mm], soll auch [mm]w[/mm] auf dem Einheitskreis liegen, also [mm]w \bar{w} = 1[/mm] sein:
[mm]w \bar{w} = 1 \ \ \Leftrightarrow \ \ (az + b)(\bar{a} \bar{z} + \bar{b}) = (z + d)(\bar{z} + \bar{b}) \ \ \Leftrightarrow \ \ (a \bar{b} - \bar{d}) \, z^2 + (a \bar{a} + b \bar{b} - d \bar{d} - 1) \, z + \bar{a} b - d = 0[/mm]
Zuletzt habe ich [mm]\bar{z}[/mm] durch [mm]\frac{1}{z}[/mm] ersetzt und die Gleichung mit [mm]z[/mm] durchmultipliziert. Wenn die letzte Gleichung für unendlich viele [mm]z[/mm] (alle [mm]z[/mm] des Einheitskreises) gelten soll, kann das nur dadurch gehen, daß die Koeffizienten des Polynoms verschwinden. Das ergibt zwei Bedingungen
(I) [mm]\bar{a} b - d = 0[/mm] (oder äquivalent dazu [mm]a \bar{b} - \bar{d} = 0[/mm])
(II) [mm]a \bar{a} + b \bar{b} - d \bar{d} - 1 = 0[/mm]
Ersetzt man gemäß (I) [mm]d[/mm] und [mm]\bar{d}[/mm] in (II), so erhält man:
[mm]a \bar{a} + b \bar{b} - a \bar{a} b \bar{b} - 1 = 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ (a \bar{a} - 1) \, (1 - b \bar{b}) = 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ \left( |a|^2 - 1 \right) \left( 1 - |b|^2 \right) = 0[/mm]
Es muß also [mm]|a| = 1[/mm] oder [mm]|b| = 1[/mm] gelten. Im ersten Fall, also [mm]\bar{a} = \frac{1}{a}[/mm], bekommt man aber gar keine Möbiustransformation mehr (ich verwende auch (I)):
[mm]w = \frac{az + b}{z + d} = \frac{az + b}{z + \bar{a} b} = \frac{az + b}{z + \frac{b}{a}} = a[/mm] (konstant! Widerspruch!)
Daher müssen [mm]|b| = 1[/mm], also [mm]b = \frac{1}{\bar{b}}[/mm], und [mm]|a| \neq 1[/mm] gelten. Mit dem neuen Parameter [mm]u = \frac{a}{b}[/mm] folgt daher:
[mm]w = \frac{az + b}{z + d} = \frac{az + b}{z + \bar{a} b} = b \frac{\frac{a}{b} \, z + 1}{z + \frac{\bar{a}}{\bar{b}}} = b \frac{uz + 1}{z + \bar{u}} \, , \ \ |u| \neq 1[/mm]
So bin ich auf den Ansatz für [mm]\psi[/mm] gekommen. Daß [mm]\psi[/mm] auch tatsächlich den Einheitskreis auf sich selber abbildet, kann man nun leicht nachrechnen (und sollte man! denn die Schlußweise ging oben nur in eine Richtung!).
Das ist alles auf meinem eigenen Mist gewachsen. Da mag es durchaus elegantere Wege geben. Da mein Studium schon einige Jahrzehnte zurückliegt, kann ich dir leider auch keine neuere Literatur zu diesem Themenkomplex empfehlen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:25 Di 08.05.2007 | | Autor: | BertanARG |
Hi,
danke für die ausführliche Antwort. Jetzt kann ich deine Denkweise gut nachvollziehen und habe die Aufgabe vollends verstanden.
Viele Grüße,
BertanARG
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