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| Aufgabe | Von einer quadratischen Funktionenschar fq (x) mit Df = R sind der Scheitel (1/q) mit q [mm] \in\ [/mm] R \ {0} sowie der Punkt A (3/0) (A [mm] \in\ [/mm] fq (x)) gegeben.
a) Bestimme den Funktionsterm der Schar
b) Die Funktionenschar besitzt gemeinsame Punkte. Gib einen dieser Punkte an.
c) Bestimme die Nullstellen der Funktionenschar in Abhängigkeit vom Parameter q.
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo Leute! Diese Aufgabe verstehe ich überhaupt nicht, das ist Hausaufgabe, allerdings haben wir noch nicht erklärt bekommen, was eine Funktionenschar eigentlich ist.
Vielen Dank schonmal für die Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:42 Sa 14.03.2009 | | Autor: | abakus |
> Von einer quadratischen Funktionenschar fq (x) mit Df = R
> sind der Scheitel (1/q) mit q [mm]\in\[/mm] R \ {0} sowie der Punkt
> A (3/0) (A [mm]\in\[/mm] fq (x)) gegeben.
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> a) Bestimme den Funktionsterm der Schar
> b) Die Funktionenschar besitzt gemeinsame Punkte. Gib einen
> dieser Punkte an.
> c) Bestimme die Nullstellen der Funktionenschar in
> Abhängigkeit vom Parameter q.
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Hallo Leute! Diese Aufgabe verstehe ich überhaupt nicht,
> das ist Hausaufgabe, allerdings haben wir noch nicht
> erklärt bekommen, was eine Funktionenschar eigentlich ist.
> Vielen Dank schonmal für die Hilfe!
Hallo,
eine Funktionenschar sind unendlich viele Funktionen mit fast der gleichen Funktionsgleichung.
Ich gebe mal 2 Beispiele für lineare Funktionen:
1) Die Gleichung y=3x+n beschreibt unendlich viele Funktionen (eben eine ganze Schar von Funktionen). Wenn du für n eine 1 eine 5 oder eine 99 einsetzt, erhältst du die Funktionen y=3x+1 oder y=3x+5 oder y=3x+99.
Diese drei Funktionen (und alle anderen die du erhältst, wenn du für n andere Zahlen einsetzt) besitzen eine gemeinsame Eigenschaft (hier ist es der Anstieg 3)
2) Auch die Gleichung y=mx+4 beschreibt eine ganze Schar von Funktionen: alle linearen Funktionen mit beliebigen Anstiegen, aber dem gemeinsamen Achsenschnittpunkt (0|4).
In deiner Aufgabe sind die Bilder aller Funktionen Parabeln. Wähle dir einfach mal einige (mindestens drei) verschiedene Werte für q aus (z. B: q=1, q=2 und q=-1) und bestimme jeweils die Gleichung der Parabel, die durch A verläuft und (1|q) als Scheitelpinkt hat. Übrigens: wegen der Symmetrieeigenschaft von quadratischen Funktionen kennst du neben dem Punkt A sofort einen weiteren Punkt ...
Gruß Abakus
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| Aufgabe | Von einer quadratischen Funktionenschar fq (x) mit Df = R sind der Scheitel (1/q) mit q R \ {0} sowie der Punkt A (3/0) (A fq (x)) gegeben.
a) Bestimme den Funktionsterm der Schar
b) Die Funktionenschar besitzt gemeinsame Punkte. Gib einen dieser Punkte an.
c) Bestimme die Nullstellen der Funktionenschar in Abhängigkeit vom Parameter q.
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Danke für die schnelle Antwort!
Das heißt, ich kann a) damit beantworten, indem ich drei verschiedene Gleichungen hinschreibe, weil es gar keine allgemeingültige Funktionsgleichung gibt? Aber hätte ich dann nicht unendlich viele Antworten?
Ich bin auch schon darauf gekommen, dass die zweite Nullstelle N bei (-1/0) liegt. Aber was heißt das jetzt für meine Aufgabe? Was bringt mir diese Nullstelle? Wie soll ich das jetzt alles ausrechnen? Und warum kann ich in b) nicht einfach einen meiner drei "auserwählten" Scheitelpunkte einsetzen? Oder muss ich zwei meiner Scheitelpunktsformeln gleichsetzen, z.b. die für q=1 und die für q=2, und dann nach x auflösen? c) verstehe ich überhaupt nicht, ich weiß doch, wo meine Nullstellen liegen! :-(
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> Von einer quadratischen Funktionenschar fq (x) mit Df = R
> sind der Scheitel (1/q) mit q R \ {0} sowie der Punkt A
> (3/0) (A fq (x)) gegeben.
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> a) Bestimme den Funktionsterm der Schar
> b) Die Funktionenschar besitzt gemeinsame Punkte. Gib einen
> dieser Punkte an.
> c) Bestimme die Nullstellen der Funktionenschar in
> Abhängigkeit vom Parameter q.
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> Danke für die schnelle Antwort!
>
> Das heißt, ich kann a) damit beantworten, indem ich drei
> verschiedene Gleichungen hinschreibe, weil es gar keine
> allgemeingültige Funktionsgleichung gibt? Aber hätte ich
> dann nicht unendlich viele Antworten?
>
> Ich bin auch schon darauf gekommen, dass die zweite
> Nullstelle N bei (-1/0) liegt.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Aber was heißt das jetzt für
> meine Aufgabe? Was bringt mir diese Nullstelle? Wie soll
> ich das jetzt alles ausrechnen? Und warum kann ich in b)
> nicht einfach einen meiner drei "auserwählten"
> Scheitelpunkte einsetzen? Oder muss ich zwei meiner
> Scheitelpunktsformeln gleichsetzen, z.b. die für q=1 und
> die für q=2, und dann nach x auflösen?
Im Prinzip kannst Du alle Information, die Du über $f(x)$ (in Abhängigkeit von $q$) weisst, in den Ansatz [mm] $f(x)=ax^2+bx+c$ [/mm] einsetzen. Dies ergibt ein lineares Gleichungssystem für die Koeffizienten $a,b,c$. Löse dieses Gleichungssystem nach $a,b,c$ auf und behandle dabei $q$ wie eine gegebene konstante Zahl ("Parameter" des Gleichungssystems).
Am einfachsten geht's aber mit der Scheitelpunktsform der quadratischen Funktion $f(x)$: ist [mm] $S(x_S|y_S)$ [/mm] der Scheitelpunkt ihres Graphen, dann gilt [mm] $f(x)=a\cdot(x-x_S)^2+y_S$.
[/mm]
Bei Deiner Aufgabe ist [mm] $x_S=1$ [/mm] und [mm] $y_S=q$ [/mm] und daher [mm] $f_q(x)=a\cdot(x-1)^2+q$. [/mm] Nun muss zusätzlich aber noch gelten, dass $A(3|0)$ auf dem Graphen von $f$ liegt. Mit anderen Worten, es muss $f(3)=0$ sein. Es muss somit gelten: [mm] $f(3)=a\cdot (3-1)^2+q=0$. [/mm] Daraus kannst Du $a$ als Funktion von $q$ erhalten. Einsetzen dieses Wertes für $a$ im Ansatz [mm] $f_q(x)=a\cdot (x-1)^2+q$ [/mm] liefert den gesuchten Term der Funktionenschar [mm] $f_q$.
[/mm]
> c) verstehe ich
> überhaupt nicht, ich weiß doch, wo meine Nullstellen
> liegen! :-(
Die Nullstellen sind halt unabhängig von $q$. Schreibe diese beiden Nullstellen einfach als Antwort hin. Bem: Nachdem man b) gelöst hat, kann man eben auch die Gleichung [mm] $f_q(x)=0$, [/mm] in der noch der Parameter $q$ auftritt, nach $x$ auflösen. Es zeigt sich, dass, sofern [mm] $q\neq [/mm] 0$ ist, diese Nullstellengleichung immer dieselben zwei Lösungen [mm] $x_1=3$ [/mm] und [mm] $x_2=-1$ [/mm] hat.
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Oh, da hab ich wohl zu kompliziert gedacht. Vielen Dank für die schnelle und wirklich gut erklärte Antwort!!
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