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| Aufgabe | Durch die Gleichung [mm] f_{a}(x)= (x^{2}-a^{2})*e^{ax} [/mm] wird für jede positive reelle Zahl a eine Funktion [mm] f_{a} [/mm] definiert.
Zeigen Sie, dass die positive Nullstelle von [mm] f_{a} [/mm] niemals eine Extremstelle dieser Funktion sein kann. |
Hallo,
ich komme irgendwie nicht weiter...
Ich habe folgendes berechnet:
f'_{a}(x)= [mm] 2x*e^{ax}+(x^{2}-a^{2})*(e^{ax}*a)
[/mm]
= [mm] 2x*e^{ax}+(x^{2}*e^{ax}+ax^{2}-a^{2}*e^{ax} -a^{3})
[/mm]
= [mm] e^{ax} [/mm] * [mm] (2x+x^{2} [/mm] - [mm] a^{3}-a^{2} [/mm] ...?)
hier komme ich nicht weiter... Kann mir jemand helfen?
(Und eine Frage nebenbei: Wenn man für diese Funktionenschar [mm] (f_{a}) [/mm] die Nullstellen bestimmen möchte, muss man nach x oder nach a auflösen??)
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Hallo micha20000,
> Durch die Gleichung [mm]f_{a}(x)= (x^{2}-a^{2})*e^{ax}[/mm] wird
> für jede positive reelle Zahl a eine Funktion [mm]f_{a}[/mm]
> definiert.
>
> Zeigen Sie, dass die positive Nullstelle von [mm]f_{a}[/mm] niemals
> eine Extremstelle dieser Funktion sein kann.
> Hallo,
>
> ich komme irgendwie nicht weiter...
>
> Ich habe folgendes berechnet:
> f'_{a}(x)= [mm]2x*e^{ax}+(x^{2}-a^{2})*(e^{ax}*a)[/mm]
>
> = [mm]2x*e^{ax}+(x^{2}*e^{ax}+ax^{2}-a^{2}*e^{ax} -a^{3})[/mm]
>
Der zweite Summand schreibt sich als Summe*Produkt.
Damit ist jede dieser Summen mit dem Produkt zu multiplizieren:
[mm](x^{2}-a^{2})*(e^{ax}*a)=x^{2}*e^{a*x}*a-a^{2}*e^{a*x}*a[/mm]
> = [mm]e^{ax}[/mm] * [mm](2x+x^{2}[/mm] - [mm]a^{3}-a^{2}[/mm] ...?)
>
> hier komme ich nicht weiter... Kann mir jemand helfen?
>
> (Und eine Frage nebenbei: Wenn man für diese
> Funktionenschar [mm](f_{a})[/mm] die Nullstellen bestimmen möchte,
> muss man nach x oder nach a auflösen??)
Nach x.
Gruss
MathePower
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oja, jetzt habe ich den Fehler gesehen, danke!
Ich habe nun folgendes:
f'_{a}(x)= [mm] e^{ax}*(2x+ax^{2}-a^{3})
[/mm]
Nun muss ich ja f'_{a}(a)= 0 setzen
[mm] e^{a^{2}}*2a=0
[/mm]
Dann bekomme ich für a 0 raus. Ist das richtig? Muss ich das jetzt in die 2. Ableitung einsetzen?
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Wenn ich jetzt f'(x) nach x auflöse, dann bekomme ich x=0 raus... stimmt das?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:46 Mi 01.10.2014 | | Autor: | DieAcht |
Tut mir leid, ich habe einen Fehler gemacht. Die einzige positive
Nullstelle von [mm] f_{a}(x) [/mm] ist [mm] $a\$ [/mm] und um diese geht es. Ich bin mir
nicht sicher ob das nun zufällig von dir richtig benutzt worden
ist. Du bekommst also [mm] $a=0\$ [/mm] raus, aber es muss [mm] $a>0\$ [/mm] gelten.
Da hast du den Widerspruch und die Aufgabe ist gelöst.
Demnach ist also deine andere Antwort völlig richtig. Sorry!
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okay, vielen Dank! Wir haben von unserem Lehrer den Tipp bekommen, am Ende a einzusetzen und es nicht bei x zu belassen...
Aber wäre ich nicht auch auf die Lösung gekommen, wenn ich einfach ganz normal nach x aufgelöst hätte, ohne irgendwo a einzusetzen?
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Hallo,
ja, Du hättest auch [mm] f_a'(x)=0 [/mm] nach x auflösen können, und dann nachschauen (=errechnen), für welches a das errechnete x gleich a ist.
LG Angela
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