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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:08 Sa 27.12.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktionenschar [mm] f_{a} [/mm] mit [mm] f_{a}(x)=\bruch{4x}{x^{2}+a} [/mm] ,a>0
[mm] a)T_{a} (-\wurzel{a}/-\bruch{2}{\wurzel{a}}) [/mm] und [mm] H_{a} (\wurzel{a}/\bruch{2}{\wurzel{a}})sind [/mm] Extrempunkte des Graphen von [mm] f_{a}.
[/mm]
Geben Sie die Gleichung der Funktion g an,auf deren Grapeh alle Extrempunkte der Schar liegen.
Untersuchen Sie,ob jeder Punkt des Graphen von g auch ein Extrempunkt einer der Scharkurven ist.(Dabei wird für g der maximale Definitionsbereich zugrunde gelegt).
b)Die Strecke von [mm] T_{a} [/mm] nach [mm] H_{a} [/mm] soll die Seite eines Quadrats bilden.
Ermitteln Sie den Wert von a,für den der Flächeninhalt dieses Quadrats minimal wird. |
Hallo zusammen^^
Ich hab mich mal wieder an eine Abiaufgabe gesetzt.Was ich hier aber nicht so ganz verstehe sind diese beiden Aufgaben.
Bei der a) ist ja nach den Ortskurven gefragt.Ich hätte jetzt die beiden Ortskurven bestimmen können,von denen auf einer alle Hoch-, und auf der anderen alle Tiiefpunkte liegen.
Aber jetzt ist anch einer Ortskurve gefragtmauf der ALLE Extrempunkte liegen,ich weiß nicht so ganz wie ich das rechnen soll.
Habt ihr einen Tipp für mich?
b)Ich glaub hier brauch ich auch die Ortskurve g(x),die ich dann quadrieren muss und von dieser Funktion das Minimum berechnen muss oder?
Vielen dank
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:48 Sa 27.12.2008 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo Mandy, leider hast du dein a in der Funktionenschar verbasselt, schreibe bitte die Schar erneut auf, Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:56 Sa 27.12.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Danke für den Hinweis,das war wohl ein blöder Tippfehler ^^
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Hallo,
legen wir mal eine Übersicht an:
a=1 du bekommst den Extrempunkt (1: 2) oder [mm] (\wurzel{1}; \bruch{2}{\wurzel{1}})
[/mm]
a=2 du bekommst den Extrempunkt [mm] (\wurzel{2}; \bruch{2}{\wurzel{2}})
[/mm]
a=3 du bekommst den Extrempunkt [mm] (\wurzel{3}; \bruch{2}{\wurzel{3}})
[/mm]
a=4 du bekommst den Extrempunkt [mm] (\wurzel{4}; \bruch{2}{\wurzel{4}})
[/mm]
u.s.w.
jetzt sollte die Lösung nicht mehr schwierig sein, die Funktion g zu finden
[Dateianhang nicht öffentlich]
Steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:26 So 28.12.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo,
vielen dank,so weit war ich auch schon,ich hab doch dann zwei Funktionen für g,einmal [mm] g(x)=\bruch{2}{x} [/mm] und einmal [mm] g(x)=-\bruch{2}{x},aber [/mm] ich hab mich gefragt,welche in der Aufgabe gesucht ist.
Eigentlich sind ja beides dieselben Funktionen nur die eine hat negative x-Werte.Also könnte man sagen [mm] g(x)=\bruch{2}{x} [/mm] ???
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Hallo Mandy,
da hast Du einen Denkfehler. Es gibt keine zwei Funktionen für g(x). Dein Vorschlag [mm] g(x)=\bruch{2}{x} [/mm] ist richtig. Die Funktion liefert positive Werte für positive x und negative Werte für negative x. Sie hat zwei Äste. Das kennst Du doch sicher von Hyperbeln (dies ist ja eine) und anderen Funktionen mit einer Potenz von x im Nenner.
lg,
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:46 So 28.12.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | a)Untersuchen Sie,ob jeder Punkt des Graphen von g auch ein Extrempunkt einer der Scharkurven ist.(Dabei wird für g der maximale Definitionsbereich zugrunde gelegt).
b)Die Strecke von $ [mm] T_{a} [/mm] $ nach $ [mm] H_{a} [/mm] $ soll die Seite eines Quadrats bilden.
Ermitteln Sie den Wert von a,für den der Flächeninhalt dieses Quadrats minimal wird. |
Stimmt,das kenne ich.Da dran hatte ich gar nicht gedacht,aber jetzt ist es mir klar.^^
Jetzt hab ich noch diese zwei Aufgaben,mit denen ich nicht so klar komme.
Bei der a) würde ich,wenn ich mir das Bild anschaue,sagen dass jeder Punkt von g(x) ein Extrempunkt einer Scharkurve ist,aber ich weiß nicht wie man das so richtig "untersuchen" soll ?
Bei der b) hab ich echt keinen Plan,wie man die Strecke rausbekommt,vielleicht durch eine Tangente an g(x)?
Könnt ihr mir da einen Tipp geben?
vielen dank
lg
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a)
Du hast ja explizite Koordinaten der Extrempunkte in Abhängigkeit von a schon in der Aufgabenstellung gegeben.
Nimm nun einen beliebigen Punkt auf g(x), z.B. den Punkt [mm] (x_0,g(x_0)). [/mm] Gibt es ein [mm] a_0, [/mm] so dass der gewählte Punkt ein Extrempunkt der Funktion [mm] f_{a_0}(x) [/mm] ist? Wenn Du das allgemein bestimmen und bejahen kannst, ist auch Deine Frage positiv beantwortet.
b)
Du weißt den Anfangs- und den Endpunkt der zu untersuchenden Strecke - [mm] H_a [/mm] und [mm] T_a. [/mm] Wie lang ist also die Strecke? Bilde das Quadrat dieser Länge und betrachte es als eine Funktion h(a). Wo hat die Funktion ihr Minimum?
Wenn ich nicht irre, solltest Du [mm] a=\wurzel{2} [/mm] herausbekommen, aber ich hab's nur im Kopf gerechnet, das ist schon ziemlich fehleranfällig. Jedenfalls bei meinem Kopf...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:14 So 28.12.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
ok,vielen dank,die a) hab ich jetzt hingekriegt.
Bei der b) hab ich a=2 raus,bist du dir sicher dass [mm] a=\wurzel{2} [/mm] ist?
Wenn ja,dann poste ich nochmal meine Rechnung,damit ich weiß,wo mein Fehler liegt.
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Hallo Mandy_90,
> ok,vielen dank,die a) hab ich jetzt hingekriegt.
> Bei der b) hab ich a=2 raus,bist du dir sicher dass
> [mm]a=\wurzel{2}[/mm] ist?
> Wenn ja,dann poste ich nochmal meine Rechnung,damit ich
> weiß,wo mein Fehler liegt.
>
>
Ich habe auch a=2 herausbekommen. Demnach muß Deine Rechnung stimmen. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:35 So 28.12.2008 | | Autor: | reverend |
Nein, ich bin den Weg doch nur im Kopf durchgegangen.
Hier mal schriftlich:
Abstand [mm] T_a [/mm] zu [mm] H_a [/mm] in x-Richtung: [mm] 2*\wurzel{a}, [/mm] in y-Richtung: [mm] \bruch{4}{\wurzel{a}}
[/mm]
Fläche des Quadrats ist die Länge der Strecke zum Quadrat, also
[mm] A=(2\wurzel{a})^2+\left(\bruch{4}{\wurzel{a}}\right)^2=4a+\bruch{16}{a}
[/mm]
Das ist nun zu minimieren. Erste Ableitung:
[mm] A'(a)=4-\bruch{16}{a^2}
[/mm]
[mm] A'(a_0)=0=4-\bruch{16}{a_0^2} \Rightarrow a_0^2=4
[/mm]
Da a>0 vorausgesetzt ist, also [mm] a_0=2
[/mm]
Jetzt noch [mm] \a{}A'' [/mm] überprüfen, ist >0, also ok: Minimum.
Und dann noch mit dem gleichen Ergebnis wie ihr...
Grüße,
reverend
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