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Funktionenschar: gemeinsamen Punkt bestimmen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:45 Do 24.11.2005
Autor: Pauline

Hallo,
als quasi "Neuling" möchte ich zuerst einmal alle herzlich begrüßen und auch um Verständnis bitten, wenn es mit den Formeln noch nicht besonders klappt.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Es soll für folgende Funktionenschar [mm] f_p [/mm] der gemeinsame Punkt bestimmt werden:  [mm] f_p(x) [/mm] = log x-p/p*x; [mm] x€D_f_p; [/mm] p€R^+

Mein Ansatz ist, für "p" zwei verschiedene Werte anzunehmen und dann die Gleichungen gleichzusetzen:

logx - [mm] p_1/p_1*x [/mm] = logx - [mm] p_2/p_2*x [/mm] ;                [mm] p_1 [/mm] nicht gleich [mm] p_2 [/mm]

soweit sogut, jetzt weiß ich aber nicht, ob mein Lösungsweg richtig ist.
ich versuchs mal:

(log(x) - [mm] p_1) [/mm] * [mm] p_2*x [/mm] = (log(x) - [mm] p_2) *p_1*x [/mm]

ausmultiplizieren:

log(x) [mm] *p_2*x [/mm] - [mm] p_1*p_2*x [/mm] = [mm] log(x)*p_1*x [/mm] - [mm] p_1*p_2*x [/mm]

<=> [mm] log(x)*p_2*x [/mm] - [mm] log(x)*p_1*x [/mm] = 0

jetzt habe ich mehr oder weniger geraten, aber es passt sehr schön.

log(x/x) * [mm] (p_1*x -p_2*x) [/mm] = 0

<=>  log(x/x) * x [mm] *(p_1 [/mm] - [mm] p_2) [/mm] = 0

dividiert durch x und [mm] (p_1-p_2) [/mm] ergibt:

log(x/x) = log(1) = 0  => X = 1.

Das x=1 ist, weiß ich durch die geometrische Lösung, aber ist der Rechenweg auch korrekt?? Für jede Antwort bin ich sehr dankbar!

Viele Grüße
Pauline





        
Bezug
Funktionenschar: Korrektur zum Logarithmus
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:02 Do 24.11.2005
Autor: Roadrunner

Hallo Pauline,

[willkommenmr] !!



> Mein Ansatz ist, für "p" zwei verschiedene Werte anzunehmen
> und dann die Gleichungen gleichzusetzen:

[ok] Sehr gut ...


  
> logx - [mm]p_1/p_1*x[/mm] = logx - [mm]p_2/p_2*x[/mm] ;  [mm]p_1[/mm] nicht gleich [mm]p_2[/mm]

[ok]


> <=> [mm]log(x)*p_2*x[/mm] - [mm]log(x)*p_1*x[/mm] = 0

[ok] Bis hierher richtig!

  
> jetzt habe ich mehr oder weniger geraten, aber es passt
> sehr schön.
>  
> log(x/x) * [mm](p_1*x -p_2*x)[/mm] = 0

[notok] Und das war falsch geraten! Du fasst hier die beiden Logarithmen falsch zusammen.

Sieh Dir vielleicht die MBLogarithmusgesetze nochmal an ...


Aber die Idee war - denke ich - richtig!

Wir klammern einfach mal [mm] $x*\log(x)$ [/mm] aus:

[mm]\log(x)*p_2*x - \log(x)*p_1*x \ = \ 0[/mm]

[mm] $\gdw$[/mm]    [mm]x*\log(x)*\left(p_2 - p_1\right) \ = \ 0[/mm]


Schaffst Du den Rest nun alleine? Wann ist ein Produkt gleich Null?

Das Ergebnis mit $x \ = \ 1$ ist auf jeden Fall richtig [ok] !


Gruß vom
Roadrunner

Bezug
                
Bezug
Funktionenschar: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:13 Do 24.11.2005
Autor: Pauline

Hi, Roadrunner,

erstmal vielen Dank für deine Antwort! Also, ein Produkt ist gleich Null, wenn eines ihrer Faktoren gleich Null ist. Richtig?
Nun gehe ich also aus von [mm] x*log(x)*(p_2-p_1) [/mm] = 0

Da der gemeinsame Punkt einer Funktionenschar ja parameterunabhängig ist, muss p rausfallen. Ich dividiere durch [mm] (p_2-p_1) [/mm] und erhalte

                x*log(x) = 0

und dividiere durch x (???) und erhalte log(x) = 0

                                                     =>           x= 1

passt auch wieder sehr schön, aber richtig operiert??

Bezug
                        
Bezug
Funktionenschar: grundsätzliches
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:22 Do 24.11.2005
Autor: Roadrunner

Hallo Pauline!


> Also, ein Produkt ist gleich Null, wenn eines ihrer Faktoren gleich Null ist.

[ok] Genau ...


> Nun gehe ich also aus von [mm]x*log(x)*(p_2-p_1)[/mm] = 0
>  
> Da der gemeinsame Punkt einer Funktionenschar ja
> parameterunabhängig ist, muss p rausfallen.

[ok]


> Ich dividiere durch [mm](p_2-p_1)[/mm] und erhalte

Das ist gefährlich ... am besten wieder abgewöhnen ;-) !


Oben hast Du die Bedingung doch aufgeschrieben:
Produkt = 0, wenn einer der Faktoren = 0!


Also machen wir das auch so hier:

1. $x \ = \ 0$ Ist das vereinbar mit unserem Definitionsbereich der Funktionenschar?

oder

2. [mm] $\log(x) [/mm] \ = \ 0$ Hier erhalten wir unsere vielgepriesene Lösung ;-) .

oder

3. [mm] $p2-p_1 [/mm] \ = \ 0$   [mm] $\gdw$ $p_2 [/mm] \ = \ [mm] p_1$ [/mm]
Und das widerspricht der Voraussetzung "verschiedene Parameter" !


Damit verbleibt als einzige Lösung ...


> und dividiere durch x (???) und erhalte log(x) = 0

Wenn Du durch Terme mit Variablen (eigentlich immer!) teilst, musst Du immer kontrollieren, ob Du nicht "aus Versehen" durch $0_$ teilst.


Gruß vom
Roadrunner

Bezug
                                
Bezug
Funktionenschar: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:50 Mo 28.11.2005
Autor: Pauline

Hallo, Roadrunner,

vielen Dank für deine Antwort - und Geduld ( ist nicht einfach mit mir!).
Ich konnte solange nicht reagieren, weil ich z.zt wegen Umstellung keinen Internetanschluss habe. Ich lese mir jetzt deine Antwort mal gründlich durch und würde mich zu diesem Thema gerne wieder bei dir melden.
Geht das auch nach längerer Zeit wieder in diesem Diskussionsstrang?

Viele Grüße
Pauline
Bezug
                                        
Bezug
Funktionenschar: Lass' Dir Zeit ...
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:23 Di 29.11.2005
Autor: Roadrunner

Hallo Pauline!


> Geht das auch nach längerer Zeit wieder in diesem
> Diskussionsstrang?

Gar kein Problem! Hier im MatheRaum werden die Threads nicht "abgeschlossen" ... Du kannst Dir also Zeit lassen.


Gruß vom
Roadrunner

Bezug
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