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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:55 Mo 13.09.2004 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo zusammen!
Eine weitere Frage, die mir bei meiner Klausurvorbereitung untergekommen ist:
[mm]f_n:\IR\rightarrow\IR, f_n(x) = (-1)^nx^2/ (1+x^2)^n[/mm].
Man untersuche [mm]\summe_{n=0}^{\infty} f_n(x)[/mm] auf punktweise und glm. Konvergenz.
Dazu:
Für x=0 konv. die Reihe absolut gegen 0.
Für x ungleich 0 konv. die Reihe ebenfalls mit Hilfe des Quotientenkriteriums gegen 0.
Also konv. die Reihe punktmässig gegen 0.
Bei der glm. Konvergenz habe ich jedoch ein Problem, zumal das die erste Aufgabe ist, bei der es um Funktionenreihen geht.
Ferner gelangt man nun für x ungleich 0 mittels Umformungen und geometr. Reihe zu:
Reihe = [mm] (x^4+x^2)/(x^2+2).
[/mm]
Für x gleich 0: Reihe = 0.
Somit ist die Grenzfunktion, die ich hier gerade beschrieben habe, stetig.
Dazu gibt es einen entspr. Satz:
Folgenversion:
Wenn f_ glm gegen die Grenzfunktion konv., [mm] f_n [/mm] für alle n stetig ist, dann ist auch die Grenzfunktion stetig.
Die Umkehrung konnte man wunderbar benutzen, um zu zeigen, dass [mm] f_n [/mm] nicht glm. konv. ist, wenn schon die Grenzfunkion nicht stetig ist.
In diesem konkreten Fall kann ich ja nicht folgern, dass [mm] Reihef_n [/mm] glm konv. ist.
Wie kann ich das denn hier anstellen?
Gruss,
Wurzelpi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:45 Di 14.09.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Wurzelpi!
Also, ich blicke bei deinen Überlegungen nicht mehr durch und muss daher nachfragen.
Was ist genau dein Problem? Du weißt nicht, ob die Reihe gleichmäßig konvergiert oder nicht?
> Für x ungleich 0 konv. die Reihe ebenfalls mit Hilfe des Quotientenkriteriums gegen 0.
[...]
> Ferner gelangt man nun für x ungleich 0 mittels Umformungen und geometr. Reihe zu:
> Reihe = [mm](x^4+x^2)/(x^2+2).[/mm]
Diese beiden Aussagen stehen in einem Widerspruch zueinander: Entweder die Reihe konvergiert punktweise gegen $0$ oder gegen [mm](x^4+x^2)/(x^2+2)[/mm].
Was ist denn nun richtig?
Und könntest du uns das bitte detailliert vorrechnen? Danke. 
Vielleicht sieht man dann an der Rechnung, wo man einhaken muss.
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 21:20 Di 14.09.2004 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo nochmal!
Änderung!!!
Ich mich total missverständlich ausgedrückt und gar nicht so sshr auf die Formulierung geachtet!!!
Ich versuche es dann noch einmal etwas ausführlicher.
Zunächst aber noch mal die Aufgabenstellung:
[mm]f_n:\IR\rightarrow\IR, f_n(x) = (-1)^nx^2/ (1+x^2)^n[/mm].
Man untersuche [mm]\summe_{n=0}^{\infty} f_n(x)[/mm] auf punktweise und glm. Konvergenz.
Dazu:
>Für x=0 konv. die Reihe absolut in 0.
Das ergibt sich durch einfaches Einsetzen!
>Für x ungleich 0 konv. die Reihe ebenfalls mit Hilfe des >Quotientenkriteriums.
Dürfte auch klar sein!
>Also konv. die Reihe punktmässig,
da die Reihe abs. für alle x aus den rellen Zahlen abs. konv. ist.
(Irgendwie hatte sich zuvor immer ein "gegen 0" eingeschlichen. "In 0" ist wohl zutreffender! Da habe ich gar nicht mehr drüber nachgedacht. ISt aber totaler Quatsch, da ja das Quotientenkriterium nur darüber Auskunft gibt, ob die Reihe absolut konv.)
Sind bis dahin meine Schlussfolgerungen richtig?
>Bei der glm. Konvergenz habe ich jedoch ein Problem, zumal das die >erste Aufgabe ist, bei der es um Funktionenreihen geht.
Daran hat sich nichts verändert. 
Nun gilt doch:
[mm]\summe_{n=0}^{\infty} (-1)^nx^2/(1+x^2)^n[/mm]
= [mm]x^2*\summe_{n=0}^{\infty} (-1)^n/(1+x^2)^n[/mm]
=[mm]x^2*\summe_{n=0}^{\infty} (-1/(1+x^2))^n[/mm]
=[mm]x^2*1/(1-(-1/(1+x^2)))[/mm] (geometr. Reihe)
=[mm]x^2*(1+x^2)/(x^2+2)[/mm]
=[mm](x^4+x^2)/x^2+2)[/mm]
Somit ist die Grenzfunktion
[mm] f(x):=(x^4+x^2)/x^2+2)
[/mm]
stetig als Verkettung stetiger Funktionen(, auch in 0).
Zusammengefasst:
Die Reihe konv. punktweise und glm konv. gegen [mm] (x^4+x^2)/x^2+2), [/mm] was ich aber noch zeigen muss!
Bisher weiss ich aber nur, dass meine vermutete Grenzfunktion stetig ist.
Jezt kommt der Satz der Vorlesung (als Folgenversion, entsprechend auch für Reihen) ins Spiel.
>Wenn [mm] f_n [/mm] glm gegen die Grenzfunktion konv., [mm] f_n [/mm] für alle n stetig ist, >dann ist auch die Grenzfunktion stetig.
>Die Umkehrung kann man wunderbar benutzen, um zu zeigen, dass [mm] f_n [/mm] >nicht glm. konv. ist, wenn schon die Grenzfunkion nicht stetig ist.
Das sollte auch immer noch so sein!
In diesem konkreten Fall kann ich ja nicht folgern, dass Reihe glm konv. ist.
Diese Implikation sieht der Satz nicht vor.
Wie kann ich denn nun zeigen, dass die Reihe glm. konv ist, bzw., ist sie das denn überhaupt?
Ich hoffe, dass es jetzt klarer ist, worauf ich hinaus will.
Sorry für die missverständliche Frage!
Gruss,
Wurzelpi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:45 Di 14.09.2004 | | Autor: | andreas |
hi Wurzelpi
ohne, dass ich mir deine frage genau durchgelesen habe: wenn eine funktionenfolge gleichmäßig gegen eine funktion konvergiert, dann muss sie auch punktweise gegen die selbe funktion konvergieren! überprüfe mal deine rechnung.
vielleicht später noch mehr dazu, sonst hilft dir da bestimmt jemand anderes weiter!
grüße
andreas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:18 Mi 15.09.2004 | | Autor: | andreas |
hi Wurzelpi
nur mal so ein paar denkanstöße:
mit dem quotientenkriterium kannst du nur untersuchen, ob eine reihe konvergiert, jedoch nicht, gegen welchen wert sie konvergiert (sonst würden ja alle reihen gegen werte zwischen null und eins konvergieren)!
die überlegungen die du weiter unten zur gleichmäßigen konvergenz anstellst führen dich jedoch zur richtigen grenzfunktion. für die partialsummen kannst du mittels der formel für die endliche geometrische summe auch zu einer expliziten darstellung kommen: für [m] q \not= 1 [/m] gilt:
[m] \sum_{k=0}^n q^k = \frac{1 - q^{n+1}}{1-q} [/m].
damit kannst du ja mal probieren den ausdruck
[m] \| f - f_n \|_\infty = \sup_{x \in \mathbb{R}} |f(x) - f_n(x) | [/m]
abzuschätzen.
ich verabschiede mich jetzt.
grüße und viel erfolg am freitag
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:02 Mi 15.09.2004 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo zusammen!
So, in meiner letzten Frage diesem Thema habe falsche Folgerungen gemacht (schleichen sich leider schon mal ein, wenn man noch spät abends über solche Dinge nachdenkt. :-( )
Jetzt sollte es richtig sein und meine Frage verständlich!
SORRY!!!!
Gruss,
Wurzelpi
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Hi!
@wurzelpi: könntest du vielleicht deine umformungen/abschätzungen posten, wie du auf die grenzfunktion kommst?
kann dein ergebnis nicht ganz nachvollziehen.
ich würde auch gerne wissen, warum die reihe glm. konvergiert bzw. nicht glm. konvergiert. habe schon versucht, die reihe mit dem cauchy kriterium abzuschätzen, bin aber auf keinen beweis gekommen.
schreibe freitag auch ana I-II-klausur in ac...mit den beweisen zur glm. konvergenz habe ich glaube ich noch die größten probleme
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Hallo!
Schau einfach bei meiner zweiten Frage mal nach.
Da habe ich alle Schritte ausführlich aufgeführt.
Mehr geht nicht.
Ansonsten frag nach,wo es noch hapert!
Gruss,
Wurzelpi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:01 Mi 15.09.2004 | | Autor: | Ozymandias |
ups, hatte ich nicht gesehen.
die umformungen sind aber klar, danke.
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