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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:45 Do 12.11.2009 | | Autor: | jales |
| Aufgabe | Es sei [mm] C^{0}([0,1]) [/mm] der [mm] \IR-Vektorraum [/mm] der stetigen reellwertigen Funktion auf [0,1]. Welche der folgenden Teilmengen sind [mm] \IR-Untervektorräume [/mm] von [mm] C^{0}([0,1])? [/mm] Und welche Teilmengen sind nur [mm] \IQ-Untervektorräume, [/mm] aber keine [mm] \IR-Untervektorräume [/mm] ? Begründen Sie ihre Antwort.
1. die Menge aller Polynomfunktionen,
2. die Menge aller positiven Funktionen
3. die Menge aller Funktionen f mit f(0) = [mm] \integral_{0}^{1}{f(t) dt},
[/mm]
4. die Menge aller differenzierbaren Funktionen, |
Soweit die Aufgabe. Ich habe leider keine Ahnung, wie ich vorgehen soll.
Ein paar Fragen vorraus: Was genau ist ein [mm] \IK-Vektorraum [/mm] ? Ist damit der Vektrraum über [mm] \IK [/mm] gemeint ?
Was genau bedeutet : "... der [mm] \IR-Vektorraum [/mm] der stetigen reellwertigen Funktionen auf [0,1]" ?
Wäre für jede Hilfe sehr dankbar.
Ich habe diese Frage in keiner anderen Internetseite gestellt.
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> Es sei [mm]C^{0}([0,1])[/mm] der [mm]\IR-Vektorraum[/mm] der stetigen
> reellwertigen Funktion auf [0,1]. Welche der folgenden
> Teilmengen sind [mm]\IR-Untervektorräume[/mm] von [mm]C^{0}([0,1])?[/mm] Und
> welche Teilmengen sind nur [mm]\IQ-Untervektorräume,[/mm] aber
> keine [mm]\IR-Untervektorräume[/mm] ? Begründen Sie ihre Antwort.
>
> 1. die Menge aller Polynomfunktionen,
> 2. die Menge aller positiven Funktionen
> 3. die Menge aller Funktionen f mit f(0) =
> [mm]\integral_{0}^{1}{f(t) dt},[/mm]
> 4. die Menge aller
> differenzierbaren Funktionen,
> Soweit die Aufgabe. Ich habe leider keine Ahnung, wie ich
> vorgehen soll.
> Ein paar Fragen vorraus: Was genau ist ein [mm]\IK-Vektorraum[/mm] ?
> Ist damit der Vektrraum über [mm]\IK[/mm] gemeint ?
Hallo,
ja, so ist es.
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> Was genau bedeutet : "... der [mm]\IR-Vektorraum[/mm] der stetigen
> reellwertigen Funktionen auf [0,1]" ?
[mm] C^0([0,1]) [/mm] ist die Menge der stetigen Funktionen, die aus dem Intervall [0,1] in die reellen Zahlen abbilden.
Versehen mit den unten definierten Verknüpfungen + und [mm] \* [/mm] bildet diese Menge einen Vektorraum. Das wurde bereits bewiesen, und Du solltest es in Deinen Unterlagen finden - oder als kl. Fingerübung beweisen.
(f+g)(x):=f(x)+g(x) f.a. [mm] x\in [/mm] [0,1]
[mm] (\lambda f)(x):=\lambda [/mm] f(x)
Um Unterraumeigenschaften zu zeigen, mußt Du nun mit den Unterraumkriterien arbeiten.
Deine Vektoren (=Elemente des Vektorraumes) sind hier halt Funktionen
Gruß v. Angela
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