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Funktionenfolgen konstruieren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:45 So 10.05.2015
Autor: Emma23

Aufgabe
Sei [mm] BC(\IR)=\{f:\IR\to\IR: f \mbox{ stetig und beschränkt} \}. [/mm]
i) Konstruieren Sie eine Funktionenfolge [mm] f_{v}\in BC(\IR) [/mm] mit [mm] ||f_{v}||_\infty \to [/mm] 0, aber [mm] ||f_{v}||_{1}=1. [/mm]
ii) Sei [mm] f:[-2,2]\to\IR [/mm] mit [mm] f(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } |x|\le 1 \\ 0, & \mbox{für } |x|>1 \end{cases}. [/mm]
Konstruieren Sie [mm] f_{v}\in [/mm] C[-2,2] mit [mm] f_{v}\to [/mm] f punktweise.
iii) Sei [mm] f:[-2,2]\to\IR [/mm] mit [mm] f(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } |x|< 1 \\ 0, & \mbox{für } |x|\ge 1 \end{cases}. [/mm]
Konstruieren Sie [mm] f_{v}\in [/mm] C[-2,2] mit [mm] f_{v}\to [/mm] f punktweise.

Hallo! Ich brauche ganz dringend Hilfe bei der Aufgabe :( Funktionenfolgen konstruieren kann ich wirklich überhaupt nicht...

Ich wäre euch unglaublich dankbar!
LG Emma

        
Bezug
Funktionenfolgen konstruieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:08 So 10.05.2015
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

fang doch erst mal mit den wichtigsten Dingen an:

1.) Wie ist [mm] $||f||_\infty$ [/mm] definiert?
2.) Wie ist [mm] $||f||_1$ [/mm] definiert?
3.) Was bedeutet in Worten [mm] $||f_n||_\infty \to [/mm] 0$?
4.) Was bedeutet in Worten [mm] $||f_n||_1 [/mm] = 1$?

Zu b) und c)

Mal dir mal die Zielfunktionen auf. Sind diese schon in $C[-2,2]$?
Wenn nein, warum nicht?

Tipp: Was köntest du tun, damit die Funktion in $C[-2,2]$ wäre?

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Funktionenfolgen konstruieren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:54 So 10.05.2015
Autor: Emma23


> Hiho,
>  
> fang doch erst mal mit den wichtigsten Dingen an:
>  
> 1.) Wie ist [mm]||f||_\infty[/mm] definiert?

[mm] ||f||_\infty =max\{|f(x)|:x\in [a,b]\}. [/mm]

>  2.) Wie ist [mm]||f||_1[/mm] definiert?

[mm] ||f||_1=\integral_{a}^{b}{|f(x)| dx} [/mm]

>  3.) Was bedeutet in Worten [mm]||f_n||_\infty \to 0[/mm]?

Das Betragsmaximum der Funktion geht gegen 0.

>  4.) Was
> bedeutet in Worten [mm]||f_n||_1 = 1[/mm]?

Die Betragssumme ist 1 bzw. das Integral.

>  
> Zu b) und c)
>  
> Mal dir mal die Zielfunktionen auf. Sind diese schon in
> [mm]C[-2,2][/mm]?
>  Wenn nein, warum nicht?
>  
> Tipp: Was köntest du tun, damit die Funktion in [mm]C[-2,2][/mm]
> wäre?

Warum sollte Sie nicht in C[-2,2] sein?! Das versteh ich irgendwie nicht...
Und ist die Skizze nicht für ii) und iii) gleich?

>  
> Gruß,
>  Gono

Grüße

Bezug
                        
Bezug
Funktionenfolgen konstruieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:38 Mo 11.05.2015
Autor: fred97


> > Hiho,
>  >  
> > fang doch erst mal mit den wichtigsten Dingen an:
>  >  
> > 1.) Wie ist [mm]||f||_\infty[/mm] definiert?
>  
> [mm]||f||_\infty =max\{|f(x)|:x\in [a,b]\}.[/mm]
>  
> >  2.) Wie ist [mm]||f||_1[/mm] definiert?

>  
> [mm]||f||_1=\integral_{a}^{b}{|f(x)| dx}[/mm]
>  
> >  3.) Was bedeutet in Worten [mm]||f_n||_\infty \to 0[/mm]?

>  
> Das Betragsmaximum der Funktion geht gegen 0.



Ich dehe eine ganze Folge von Funktionen !


>  
> >  4.) Was

> > bedeutet in Worten [mm]||f_n||_1 = 1[/mm]?
>  
> Die Betragssumme ist 1 bzw. das Integral.

Wieder: Du hast eine Folge [mm] (f_n) [/mm]



>  >  
> > Zu b) und c)
>  >  
> > Mal dir mal die Zielfunktionen auf. Sind diese schon in
> > [mm]C[-2,2][/mm]?
>  >  Wenn nein, warum nicht?
>  >  
> > Tipp: Was köntest du tun, damit die Funktion in [mm]C[-2,2][/mm]
> > wäre?
>  
> Warum sollte Sie nicht in C[-2,2] sein?! Das versteh ich
> irgendwie nicht...


f ist nicht stetig !!!


>  Und ist die Skizze nicht für ii) und iii) gleich?

Nicht ganz. Schau Dir x= [mm] \pm [/mm] 1 an.

FRED

>  >  
> > Gruß,
>  >  Gono
>
> Grüße


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