Funktionenfolgen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:16 Mi 16.06.2004 | | Autor: | Britta |
Hallo Leute!
Ich brauche dringend Hilfe bei meinen Matheaufgaben, ich studiere Mathe Lehramt und im Gegensatz zu den Diplomern verstehe ich nicht sehr viel von den Übungsaufgaben und diese können es auch nicht erklären.
Die Aufgabe lautet wie folgt:
Es sei fn(x) := ( [mm] x^n [/mm] - 1 / [mm] x^n [/mm] + 1)² dabei soll x ungleich -1 sein.
Berechne f(x) := lim n -> unendlich fn(x). Was fällt beim Vergleich der Funktionen f(x) und fn(x) auf?
Wäre echt nett wenn ihr mir ein paar Tips geben könntet.
Lieben Gruß Britta
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:47 Mi 16.06.2004 | | Autor: | Micha |
Hallo!
Also zunächst einmal der Grenzwert von [mm]f_n[/mm] für n -> unendlich:
[mm] \limes_{n \to \infty}(\bruch{x^n - 1}{x^n + 1})^2 [/mm] =
[mm] \limes_{n \to \infty}\bruch {x^{2n} - 2x^n + 1}{x^{2n} + 2x^n + 1} [/mm] = 1
Daraus würde folgen, dass die Grenzfunktion [mm]f(x) = 1[/mm] ist, aber wenn du dir die Graphen für verschiedene n zeichnen lässt, stellst du fest, dass das nur in den Intervallen [mm] (-\infty , -1) und (1, +\infty) [/mm] der Fall ist... Am besten du lässt dir die Funkionenschar mal in nem Matheprogramm zeichnen mit verschiedenen n, dann siehst du das Verhalten an -1 und 1 deutlich.
Fazit: Nur in den angegebenen Intervallen konvergiert [mm]f_n[/mm] gleichmäßig gegen f. (Man könnte das noch mit gleichmäßiger Stetigkeit zeigen, aber das is mir grad bisschen zu mühsam *zugeb*)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:58 Mi 16.06.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Britta!
Noch mal zur Ergänzung:
Es gilt also für $x [mm] \in \IR \setminus\{-1\}$:
[/mm]
$f(x) = [mm] \left\{ \begin{array}{ccc} 1 & , & x \ne 1.\\[5pt] 0 & , & x=1. \end{array} \right.$
[/mm]
Daher ist $f$ in $x=1$ nicht stetig, während die Funktionen [mm] $f_n$ [/mm] in ganz [mm] $\IR \setminus \{-1\}$ [/mm] stetig sind.
Daran sieht man: Der punktweise Limes stetiger Funktionen muss nicht wieder stetig sein!
Dies gilt nur, wenn die Funktionenfolge gleichmäßig konvergiert!
Liebe Grüße
Julius
|
|
|
|
