Funktionenfolge konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:31 So 10.10.2010 | | Autor: | Peano08 |
| Aufgabe | Sei n [mm] \in \IN [/mm] und [mm] f_n [/mm] : [0,2] -> [mm] \IR [/mm] , x -> 1/(1+n^(2n))
Untersuche die Funktionenfolge auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz. |
Hallo,
meine Lösung sieht so aus und ich wüde gerne wissen, ob ich das so richtig gemacht habe.
[mm] \lim_{n -> \infty} f_n [/mm] (x) = 1 für alle x [mm] \in [/mm] [0,1)
[mm] \lim_{n -> \infty} f_n [/mm] (x) = 0 fü alle x [mm] \in [/mm] [1,2]
Die Funktionenfolge ist punktweise konvergent.
Da die Gernzfunktion jedoch nicht stetig ist, kann keine gleichmäßige Konvergenz vorliegen.
Grüße und Danke,
Benjamin
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Huhu,
vermutlich hast du dich bei der Funktionsvorschrift vertan, die hängt nämlich nicht von x ab.
Schreib sie doch mal bitte sauber mit dem Formeleditor hin, dann fällt dir bestimmt auch dein Fehler auf..... und zu deiner Begründung: Für den Satz fehlen noch Voraussetzungen, die du nicht so stillschweigend unter den Tisch fallen lassen kannst.....
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:59 So 10.10.2010 | | Autor: | Peano08 |
Hi,
stimmt: [mm] f_n [/mm] (x) = [mm] \bruch{1}{1+x^{2n}}
[/mm]
Welche Bedingungen denn?
Mir würde eventuell nur einfallen, dass [mm] f_n [/mm] (x) stetig und Diffbar ist, oder braucht man das nicht...
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Hiho,
> Mir würde eventuell nur einfallen, dass [mm]f_n[/mm] (x) stetig und
> Diffbar ist, oder braucht man das nicht...
da sollte sich jemand wohl nochmal die Voraussetzungen des Satzes richtig anschauen 
Den habt ihr bestimmt gehabt.
Unter welchen Voraussetzungen ist die Grenzfunktion sicher stetig?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:57 So 10.10.2010 | | Autor: | Peano08 |
Hallo,
leider habe ich keinen solchen Satz im Skript gefunden...
Ich kenne nur, dass wenn [mm] f_n [/mm] (x) gleichmäßig gegen f konvergiert, dann ist auch f stetig.
Grüße,
benjamin
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Hiho,
der Satz stimmt so nicht, da fehlen Voraussetzungen!
Würde dein Satz gelten, wäre jede unstetige Funktion stetig 
Gegenbeispiel:
Sei [mm] $f_n(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{sonst } \\ 1, & \mbox{für } x\in\IQ \end{cases}$
[/mm]
Dann konvergiert [mm] f_n [/mm] offensichtlich als konstante Folge mit identischer Zielfunktion, die aber offensichtlich nicht stetig ist.
Die Konvergenz ist gleichmäßig!
Nach deiner Theorie wäre diese Funktion oben als stetig.... ist sie aber nicht.
Und wenn du den Satz kennst, hattet ihr ihn in der Vorlesung.
Du sollst nun mal nachgucken, welche Voraussetzungen ihr dafür hattet, denn so wie du ihn formuliert hast, stimmt er nicht.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:20 So 10.10.2010 | | Autor: | Peano08 |
Hi,
Es sei [mm] (f_n) [/mm] eine Folge stetiger Funktionen. Wenn [mm] f_n [/mm] gleichmäßig gegen f konvergiert, dann ist f stetig.
Das wäre mein vollständiger Satz.
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Korrekt.
So, und was wäre nun deine Begründung, wieso die Konvergenz bei deiner Aufgabe dann nicht gleichmäßig sein kann?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:24 So 10.10.2010 | | Autor: | Peano08 |
Hi,
die Funktionenfolge ist stetig. Nach dem Satz, kann [mm] f_n [/mm] nur glm gegen f konvergieren, wenn f stetig ist. Da die Grenzfunktion jedoch nicht stetig ist, kann auch [mm] f_n [/mm] nicht glm gegen f konvergieren.
Richtig?
Ich habe da aber dann noch ne Frage:
Und zwar, was ist dann, wenndie Funktionenfolge nicht einmal stetig ist, wie z.B.: x -> [mm] f_n [/mm] (x) := [mm] f(n)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x \in [n, n+1] \\ 0, & \mbox{für } sonst \end{cases}
[/mm]
Die ist ist ja punktweise konvergent gegen 0 und 1. Wie zeige ich denn nun, dass sie nicht glm konvergent ist??
Grüße,
Benjamin
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Hiho,
> Hi,
> die Funktionenfolge ist stetig. Nach dem Satz, kann [mm]f_n[/mm] nur
> glm gegen f konvergieren, wenn f stetig ist. Da die
> Grenzfunktion jedoch nicht stetig ist, kann auch [mm]f_n[/mm] nicht
> glm gegen f konvergieren.
>
> Richtig?
Viel besser
So ists schön und 100% korrekt.
> Ich habe da aber dann noch ne Frage:
>
> Und zwar, was ist dann, wenndie Funktionenfolge nicht
> einmal stetig ist, wie z.B.: x -> [mm]f_n[/mm] (x) :=
> [mm]f(n)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x \in [n, n+1] \\ 0, & \mbox{für } sonst \end{cases}[/mm]
>
> Die ist ist ja punktweise konvergent gegen 0 und 1. Wie
> zeige ich denn nun, dass sie nicht glm konvergent ist??
So, wo konvergiert sie denn punktweise gegen 1?
Wie habt ihr denn glm. Konvergenz definiert? Das musst du halt negieren
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:30 Mo 11.10.2010 | | Autor: | Peano08 |
hallo,
wieso konvergiert das denn nicht punktweise gegen 1?
Die Definition von glm kvgz ist:
die folge [mm] (f_n) [/mm] konvergiert gleichmäßig gegen f, falls gilt:
Für jedes [mm] \epsilon [/mm] > 0 für alle N [mm] \in \IN [/mm] sodass [mm] |f_n [/mm] (x) -f(x)| < [mm] \epsilon [/mm] für alle n >= N für alle x [mm] \in [/mm] D
Ich weiß, wie ich die glm kvgz bei einer expliziten Funktion widerlege, nur hier fällt mir dazu nun nichts ein...
Grüße,
benjamin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:10 Mo 11.10.2010 | | Autor: | fred97 |
Es geht also um diese Folge:
$ [mm] f_n(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x \in [n, n+1] \\ 0, & \mbox{für } sonst \end{cases} [/mm] $
(x [mm] \ge [/mm] 1)
Sei x [mm] \ge [/mm] 1. Wählst Du [mm] n_0 [/mm] in [mm] \IN [/mm] so, dass x < [mm] n_0 [/mm] ist, so ist für n [mm] \ge n_0 [/mm] ebenfalls x < n, also:
[mm] f_n(x) [/mm] =0 für n [mm] \ge n_0.
[/mm]
Das bedeutet: [mm] (f_n) [/mm] konvergiert punktweise auf [1, [mm] \infty) [/mm] gegen f [mm] \equiv [/mm] 0
Gleichmäßig ist die Konvergenz auf [1, [mm] \infty) [/mm] nicht: anderenfalls gäbe es zu [mm] \varepsilon [/mm] = 1/2 ein N [mm] \in \IN [/mm] mit
(*) [mm] $|f_n(x)| [/mm] < 1/2$ für jedes n >N und jedes x aus [1, [mm] \infty).
[/mm]
Warum ist (*) nicht richtig ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:45 Mo 11.10.2010 | | Autor: | Peano08 |
Hi,
also (*) ist nicht richtig, weil, wenn ich ein x [mm] \in [/mm] [n, n+1] [mm] \in [/mm] [1, [mm] \infty) [/mm] wähle gilt für [mm] |f_n(x)| [/mm] = 1 > 1/2.
Also wenn ich das auf die Treppenfunktion [mm] \phi: [/mm] [0,1]-> [mm] \IR [/mm]
=> [mm] \phi_n :=\begin{cases} 0, & \mbox{falls } 0 \le x \le 1-1/n \\ 1, & \mbox{sonst. } \end{cases} [/mm] übertrage, dass mit einem [mm] n_0 \in \IN [/mm] mit n [mm] \le n_0 [/mm] und x > 1-1/n [mm] \ge 1-1/n_0 [/mm] folgt, dass
[mm] \phi_n [/mm] (x) = 1 für [mm] n_0 \ge [/mm] n.
damit konvergiert [mm] \phi_n [/mm] punktweise gegen [mm] \phi [/mm] (x) [mm] \equiv [/mm] 1 auf [0,1]
Konvergiert die Funktion dann aber auf [0,1] nicht gleichmäßig, weil für ein N [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] \epsilon [/mm] = 1/2 mit [mm] |\phi_n [/mm] (x)| [mm] \le [/mm] 1/2 für n<N für alle x [mm] \in [/mm] D nicht gilt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:11 Mo 11.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
mit [mm] \epsilon=1/2 [/mm] kannst du ein Gegenbsp machen, keinen Beweis. und welches N unabh. von x in [0,1] nimmst du denn? wenn du eines weisst, solltest du es angeben!
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:23 Mo 11.10.2010 | | Autor: | Peano08 |
Hi,
ich verstehe grad nicht so ganz, welches N ich wählen soll...
Meinst du etwa, dass ich wählen soll, dass [mm] \epsilon [/mm] = 1/N ist mit N = 2 mit n>N. Dann gilt [mm] |\phi_n| [/mm] < 1/2 nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:38 Mo 11.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
du sollst [mm] \epsilon [/mm] beliebig angeben, dann zu [mm] \epsilon [/mm] ein [mm] N(\epsilon)\in\IN [/mm] finden so dass für alle [mm] n\ge N(\epsilon) [/mm] und für alle x aus dem Intervall gilt
[mm] \Phi_n(x)<\epsilon
[/mm]
die n<N(epsilon) interessieren dich nicht!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:01 Mo 11.10.2010 | | Autor: | Peano08 |
Ich habe das jetzt so verstanden:
Definiere mir ein [mm] \epsilon [/mm] = [mm] 1-1/N(\epsilon) [/mm] mit [mm] N(\epsilon) \in \IN. [/mm] Dann gilt für alle n [mm] \ge N(\epsilon) |\phi_n [/mm] (x)| < [mm] \epsilon [/mm] nicht und die Funktionenfolge ist nicht glm konvergent [mm] (N(\epsilon) [/mm] = 2).
So?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:28 Mo 11.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich versteh dein Vorgehen nicht mehr.
a) du willst glm Konvergenz zeigen, dann musst du zu JEDEM epsilon ein n angeben so dass..
b) du willst zeigen: keine glm Konvergenz.
dann kannst du zeigen, dass es mindestens ein epsilon gibt z.bsp 1/2 oder 0.1 so dass du sicher nicht für alle x ein N angeben kannst, sondern dass N von x abhängt.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:49 Mo 11.10.2010 | | Autor: | Peano08 |
I´m sorry, nur ich weiß auch nicht, was du genau von mir willst...
Ich sehe der Treppenfunktion leider nicht an, ob sie jetzt glm oder nicht glm konvergiert und da weiß ich nun auch nicht, ob ich jetzt einen Beweis für glm Konvergenz oder ein Gegenbeispiel bringen soll...
Grüße,
benjamin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:06 Mo 11.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
weisst du denn, wie [mm] f_{1000} [/mm] oder [mm] f_{10000} [/mm] was ist jeweils mit x=1, oder x=1,000000001
Kannst du ein N angeben, ab dem für ALLE x f<1/100 ist?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:22 Mo 11.10.2010 | | Autor: | Peano08 |
Hallo,
also ich finde keines, denn N müsste gegen [mm] \infty [/mm] gehen, damit für alle x [mm] \in [/mm] [0,1] f < 1/100 ist.
Es muss gelten N [mm] \ge [/mm] 1/(1-x) und damit ist N von x abhängig.
Das würde bedeuten, dass diese Funktion nicht glm konvergiert.
Vorausgesetzt, dass ist richtig: Aber trifft dass dann nicht für alle Funktionen dieses Typs zu?
Grüße,
Benjamin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:33 Mo 11.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja, sie konv. nicht glm. in dem abg. Intervall
was heisst diesen Typs? Wenn du fkt meinst ,die durch Reihen def. sind dann nein.[mm]\summe_{i=1}^{n} x^n/n! \mbox{ konvergiert auf ganz R gleichmäßig.}[/mm]
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:55 Di 12.10.2010 | | Autor: | Peano08 |
Hallo,
bei Funktionen die durch reihen definiert sind ist mir das klar.
Ich meinte Funktionenfolgen, die durch eine Bedingung 1 und eine andere Bedingung z.B. 0 werden. Können die dann nie glm konvergieren?
grüße,
benjamin
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:00 Di 12.10.2010 | | Autor: | Peano08 |
Hallo,
bei Funktionen die durch reihen definiert sind ist mir das klar.
Ich meinte Funktionenfolgen, die durch eine Bedingung 1 und eine andere Bedingung z.B. 0 werden. Können die dann nie glm konvergieren?
grüße,
benjamin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:21 Di 12.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
da gibts keine allgemeine aussage, es kommt auf das Gebiet an, in dem du glm. Konv. zeigen willst, und auf die genaue Def.
Gruss leduart
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