Funktionenfolge, Satz < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:07 Sa 26.04.2014 | | Autor: | piriyaie |
| Aufgabe | | Eine Funktionenfolge [mm] f_{n}: [/mm] D [mm] \rightarrow \IW; [/mm] x [mm] \mapsto f_{n}(x) [/mm] mit n [mm] \in \IN [/mm] ist nicht gleichmäßig konvergent, wenn die Grenzfunktion [mm] f(x):=\limes_{n \rightarrow \infty} f_{n}(x) [/mm] nicht stetig ist. |
Hallo,
ich wollte fragen ob obiger Satz richtig ist/wäre. Und falls der Satz falsch ist dann würde mich interessieren was falsch ist und ob es einen ähnlichen richtigen Satz in der Analysis gibt?!
Danke schonmal.
Grüße
Ali
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:14 Sa 26.04.2014 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Der Satz stimmt, wenn du noch dazu sagst, dass die ganzen [mm] f_n [/mm] stetig sind. Wenn sie nicht stetig sein müssen, kannst du einfach die konstante Folge [mm] $(f_n)=f$ [/mm] für eine unstetige Funktion $f$ nehmen, dann ist die Grenzfunktion nicht stetig, aber die Funktionenfolge geht trotzdem gleichmäßig gegen $f$.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:31 Sa 26.04.2014 | | Autor: | Teufel |
Also es gibt den Satz: Alle [mm] $f_n$ [/mm] stetig und [mm] $f_n\rightarrow [/mm] f$ gleichmäßig, dann $f$ stetig. Wenn also $f$ nicht stetig ist, aber die ganze [mm] $f_n$ [/mm] schon, dann kann die Konvergenz nicht gleichmäßig gewesen sein.
Und [mm] $\varepsilon$-Bänder [/mm] kannst du um jede Funktion legen! Das ist egal, wie der Graph aussieht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:37 Sa 26.04.2014 | | Autor: | piriyaie |
ohhhh man :-(
Mein Prof hat aber gesagt eine Funktionenfolge ist glm. konvergent [mm] \gdw [/mm] ich ab einem bestimmten n > [mm] N(\varepsilon) [/mm] alle Funktionen der Funktionenfolge in ein [mm] \varepsilon [/mm] - Band legen kann?! Und eine Funktion wie z.b. [mm] x^{n} [/mm] mit x [mm] \in [/mm] [0;1] kann ich nicht in ein [mm] \varepsilon [/mm] - Band legen. Also ist die auch nicht glm konvergent.
Was stimmt nun???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:47 Sa 26.04.2014 | | Autor: | Teufel |
In ein [mm] $\varepsilon$-Band [/mm] um die Grenzfunktion!
Was ist jetzt eigentlich genau deine Frage? [mm] $f_n=x^n$ [/mm] ist stetig für alle $n$, die Grenzfunktion ist es nicht. Damit konvergieren die [mm] $f_n$ [/mm] auch nicht gleichmäßig gegen die Grenzfunktion.
Ein Beispiel für eine nicht-stetig Funktionenfolge, die gleichmäßig gegen eine nicht-stetig Funktion konvergiert ist z.B. [mm] f_n: [-1,1]\rightarrow\IR,\; f_n(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x\not=0 \\ 1, & \mbox{für } x=0 \end{cases} [/mm] (konstante Folge, [mm] $f=f_1$ [/mm] z.B.). Hier gilt doch immer [mm] \sup\limits_{x\in[-1,1]} |f_n(x)-f(x)|=0 [/mm] für alle $n$.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:58 Sa 26.04.2014 | | Autor: | piriyaie |
Habs jetzt verstanden! Vielen Dank!!! 
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