Funktionenfolge Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:11 Sa 12.02.2011 | | Autor: | nhard |
| Aufgabe | Gegeben sei die Funktionenfolge [mm] $(f_k(x))_{k\in\IN}$, [/mm] definiert durch:
[mm] $f_k:[0,1]\rightarrow \IR$, $f_k(x):)\bruch{1}{k}-\bruch{1\k+x}.
[/mm]
a) Berechnen sie den punktweisen Limes
[mm] $f(x):=\limes_{n\rightarrow\infty} f_k(x)$ $(x\in [/mm] [0,1]$)
dieser Funktionenfolge.
b) Untersuchen sie die Funktionefolge auf gleichmäßige Konvergenz auf [mm] $x\in [/mm] [0,1]$ |
Also ich habe folgendes gemacht:
Da [mm] $0\le x\le [/mm] 1$ gilt für alle [mm] $\(x$ [/mm] und alle [mm] $k\in \IN$:
[/mm]
[mm] $0\le \bruch{1}{k}-\bruch{1}{k+x}\le \bruch{1}{k}-\bruch{1}{k+1}=\bruch{1}{k(1+k)}$
[/mm]
Da [mm] $\limes_{k\rightarrow\infty}0=0$ [/mm] und [mm] $\limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{1}{k(1+k)}=0$ [/mm] folgt für [mm] $f_k(x)$ [/mm] nach dem Sandwich-Lemma:
[mm] $\limes_{k\rightarrow\infty}f_k(x)=0$
[/mm]
Damit konvergiert [mm] $f_k(x)$ [/mm] gegen $f(x)=0$
b)
Sei [mm] $\epsilon [/mm] = 1$ Es gilt:
[mm] $|f_k(x)-f(x)|=|\bruch{1}{k}-\bruch{1}{k+x}|\le \bruch{1}{k(1+k)}\le [/mm] 1 [mm] \le \epsilon$
[/mm]
für alle [mm] $k\in\IN$ [/mm] und alle [mm] $x\in [/mm] [0,1]$
Somit konvergiert die Folge gleichmäßig auf [0,1]
Passt das so?
lg!
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Hi,
> Gegeben sei die Funktionenfolge [mm](f_k(x))_{k\in\IN}[/mm],
> definiert durch:
>
> [mm]$f_k:[0,1]\rightarrow \IR$, $f_k(x):=\bruch{1}{k}-\bruch{1}{k+x}.[/mm]
>
> a) Berechnen sie den punktweisen Limes
>
> [mm]f(x):=\limes_{k\rightarrow\infty} f_k(x)[/mm] [mm](x\in [0,1][/mm])
>
> dieser Funktionenfolge.
>
> b) Untersuchen sie die Funktionefolge auf gleichmäßige
> Konvergenz auf [mm]x\in [0,1][/mm]
Habe in der Aufgabenstellung ein paar Tippfehler korrigiert.
> Also ich habe folgendes
> gemacht:
>
> Da [mm]0\le x\le 1[/mm] gilt für alle [mm]x\red{\in[0,1]}[/mm] und alle [mm]k\in \IN[/mm]:
>
> [mm]0\le \bruch{1}{k}-\bruch{1}{k+x}\le \bruch{1}{k}-\bruch{1}{k+1}=\bruch{1}{k(1+k)}[/mm]
>
>
> Da [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}0=0[/mm] und
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{1}{k(1+k)}=0[/mm] folgt für
> [mm]f_k(x)[/mm] nach dem Sandwich-Lemma:
>
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}f_k(x)=0[/mm]
>
> Damit konvergiert [mm]f_k(x)[/mm] gegen [mm]f(x)=0[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> b)
>
> Sei [mm]\epsilon = 1[/mm] Es gilt:
Hier gibt es ein Problem: Du musst die Aussage für alle [mm] \varepsilon>0 [/mm] zeigen. Das sollte aber auch nicht weiter schwierig sein.
>
> [mm]|f_k(x)-f(x)|=|\bruch{1}{k}-\bruch{1}{k+x}|\le \bruch{1}{k(1+k)}\le 1 \le \epsilon[/mm]
>
> für alle [mm]k\in\IN[/mm] und alle [mm]x\in [0,1][/mm]
> Somit konvergiert
> die Folge gleichmäßig auf [0,1]
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:02 Sa 12.02.2011 | | Autor: | nhard |
danke für deine Antwort!
> > Sei [mm]\epsilon = 1[/mm] Es gilt:
> Hier gibt es ein Problem: Du musst die Aussage für alle
> [mm]\varepsilon>0[/mm] zeigen. Das sollte aber auch nicht weiter
> schwierig sein.
> >
Okay also in etwa so:
Es muss gelten:
Für alle [mm] $\epsilon [/mm] >0$ ex. ein [mm] $K\in\IN$, [/mm] so dass gilt:
[mm] $|f_k(x)-f(x)|\le\bruch{1}{k(1+k)}\le \epsilon$ [/mm] für alle $k>K$
Da [mm] $\limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{1}{k(1+k)}=0$
[/mm]
ist dies erfüllt.
Ist das schon besser?
lg
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Guten Abend,
> danke für deine Antwort!
gern geschehen
> Okay also in etwa so:
>
> Es muss gelten:
>
> Für alle [mm]\epsilon >0[/mm] ex. ein [mm]K\in\IN[/mm], so dass gilt:
> [mm]|f_k(x)-f(x)|\le\bruch{1}{k(1+k)}\le \epsilon[/mm] für alle [mm]k>K[/mm]
>
> Da [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{1}{k(1+k)}=0[/mm]
> ist dies erfüllt.
>
>
> Ist das schon besser?
Ja
>
>
> lg
Grüße!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:51 So 13.02.2011 | | Autor: | nhard |
| Aufgabe | c) Zeigen sie, dass [mm] \summe_{k=1}^{\infty}f_k(x) [/mm] konvergiert für alle [mm] $x\in[0,1]$
[/mm]
[mm] ($f_k:[0,1]\rightarrow \IR$ $f_k(x):=\bruch{1}{k}-\bruch{1}{k+x}$) [/mm] |
Hallo,
meine Lösung wäre:
[mm] $|\summe_{k=1}^{\infty}f_k(x)|=\summe_{k=1}^{\infty}f_k(x)$da [/mm] für alle [mm] $x\in[0,1]$ [/mm] gilt: [mm] $\bruch{1}{k}\ge\bruch{1}{k+1}$
[/mm]
Außerdem gilt:
[mm] $\summe_{k=1}^{\infty}f_k(x)=\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k}-\bruch{1}{k+x}\le \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k}-\bruch{1}{k+1}$ [/mm] für alle [mm] $x\in[0,1]$.
[/mm]
Da [mm] $\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k}-\bruch{1}{k+1}=1-\bruch{1}{n+1}$ [/mm] (Teleskopsumme) gilt:
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k}-\bruch{1}{k+1}=\limes_{n\rightarrow\infty}1-\bruch{1}{n+1}=1$
[/mm]
Diese Reihe stellt also eine konv. Majorante zu [mm] $\summe_{k=1}^{\infty}f_k(x)$ [/mm] dar, somit konvergiert nach dem Majorantenkriterium auch [mm] $\summe_{k=1}^{\infty}f_k(x)$.
[/mm]
Das müsste doch stimmen, oder?
lg,
nhard
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Hallo ndart,
deine Lösung sieht gut aus!
Gruß
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