Funktionenfolge < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:56 Do 05.12.2013 | | Autor: | piriyaie |
| Aufgabe | | [mm] f_{n}:[0; \infty) \rightarrow \IR, [/mm] x [mm] \rightarrow \bruch{1}{n}e^{-\bruch{x}{n}} [/mm] |
Hallo,
habe zwar obige Aufgabe schonmal gepostet aber es sind neue Fragen entstanden allgemein zur bestimmung von punktweiser und glm. konvergenz.
Also allgemein gilt doch:
1. Eine Funktionenfolge [mm] f_{n} [/mm] mit n [mm] \in \IN [/mm] Funktionen ist genau dann punktweise konvergent, wenn für ein bestimmtes x [mm] \in [/mm] D gilt:
[mm] |f_{n}(x)-f(x)|< \varepsilon \forall \varepsilon [/mm] > 0
Wobei f(x) die "Grenzwertfunktion" beschreibt, welche wie folgt definiert ist:
[mm] f(x):=\lim_{n \rightarrow \infty} f_{n}(x)
[/mm]
2. Eine Funktionenfolge [mm] f_{n} [/mm] mit n [mm] \in \IN [/mm] Funktionen ist genau dann glm. konvergent, wenn gilt:
[mm] \lim_{n \rightarrow \infty} \sup_{x \in D} |f_{n}(x)-f(x)|=0
[/mm]
Auch hier ist f(x) wie in 1. definiert.
Soweit so gut.
Aber was ist nun, wenn eine Funktion kein [mm] \sup [/mm] hat?
Also im obigen Bsp. hat ja die erste Ableitung keine Nst.
Was muss ich dann machen???
Danke schonmal.
Grüße
Ali
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:54 Do 05.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> [mm]f_{n}:[0; \infty) \rightarrow \IR,[/mm] x [mm]\rightarrow \bruch{1}{n}e^{-\bruch{x}{n}}[/mm]
>
> Hallo,
>
> habe zwar obige Aufgabe schonmal gepostet aber es sind neue
> Fragen entstanden allgemein zur bestimmung von punktweiser
> und glm. konvergenz.
>
> Also allgemein gilt doch:
>
> 1. Eine Funktionenfolge [mm]f_{n}[/mm] mit n [mm]\in \IN[/mm] Funktionen ist
> genau dann punktweise konvergent, wenn für ein bestimmtes
> x [mm]\in[/mm] D gilt:
>
> [mm]|f_{n}(x)-f(x)|< \varepsilon \forall \varepsilon[/mm] > 0
Unsinn ! [mm] (f_n) [/mm] konvergiert punktweise [mm] \gdw [/mm] für jedes (!) x [mm] \in [/mm] D ist [mm] (f_n(x)) [/mm] konvergent.
In diesem Fall setzt man für x [mm] \in [/mm] D:
$ [mm] f(x):=\lim_{n \rightarrow \infty} f_{n}(x) [/mm] $
Dann gilt also für x [mm] \in [/mm] D:
Zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] > 0 gibt es ein [mm] n_0=n_0(x, \varepsilon) \in \IN [/mm] mit
[mm] |f_{n}(x)-f(x)|< \varepsilon [/mm] für alle n [mm] \ge n_0.
[/mm]
>
> Wobei f(x) die "Grenzwertfunktion" beschreibt, welche wie
> folgt definiert ist:
>
> [mm]f(x):=\lim_{n \rightarrow \infty} f_{n}(x)[/mm]
>
> 2. Eine Funktionenfolge [mm]f_{n}[/mm] mit n [mm]\in \IN[/mm] Funktionen ist
> genau dann glm. konvergent, wenn gilt:
>
> [mm]\lim_{n \rightarrow \infty} \sup_{x \in D} |f_{n}(x)-f(x)|=0[/mm]
>
> Auch hier ist f(x) wie in 1. definiert.
>
> Soweit so gut.
>
> Aber was ist nun, wenn eine Funktion kein [mm]\sup[/mm] hat?
Wenn [mm] \sup_{x \in D} |f_{n}(x)-f(x)| [/mm] für unendlich viele n nicht ex., so ist [mm] (f_n) [/mm] nicht gleichmäßig konvergent.
>
> Also im obigen Bsp. hat ja die erste Ableitung keine Nst.
> Was muss ich dann machen???
Es gibt noch andere Möglichkeiten, Extremstellen zu ermitteln !!
In obigem Beispiel ist D=[0, [mm] \infty) [/mm] und es gilt:
$0 [mm] \le f_n(x) \le f_n(0)= \bruch{1}{n}$ [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] D und alle n [mm] \in \IN.
[/mm]
FRED
>
> Danke schonmal.
>
> Grüße
> Ali
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 06:51 Fr 06.12.2013 | | Autor: | piriyaie |
Danke FRED!
Also kann ich obige Aufgabe nur so lösen:
[mm] \lim_{n \rightarrow \infty} f_{n}(x)=\lim_{n \rightarrow \infty} \bruch{1}{n}e^{-\bruch{x}{n}}=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow f_{n} [/mm] ist punktw. konv.
[mm] \lim_{n \rightarrow \infty} \sup_{x \in [0; \infty)} |f_{n}(x) [/mm] - f(x)| = [mm] \lim_{n \rightarrow \infty} \sup_{x \in [0; \infty)} |\bruch{1}{n}e^{-\bruch{x}{n}}-0| [/mm] = [mm] \lim_{n \rightarrow \infty} \sup_{x \in [0; \infty)} \bruch{1}{n}e^{-\bruch{x}{n}} [/mm] = [mm] \lim_{n \rightarrow \infty} \sup_{x \in [0; \infty)} \bruch{1}{ne^{\bruch{x}{n}}} [/mm] = [mm] \lim_{n \rightarrow \infty} \bruch{1}{n} [/mm] = 0
[mm] \Rightarrow f_{n}(x) [/mm] ist glm. konv.
Und [mm] \bruch{1}{n} [/mm] ist sup, da 0 [mm] \le f_{n} \le \bruch{1}{n}
[/mm]
ist das so komplett richtig????
Danke schonmal.
Grüße
Ali
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:23 Fr 06.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> Danke FRED!
>
> Also kann ich obige Aufgabe nur so lösen:
>
> [mm]\lim_{n \rightarrow \infty} f_{n}(x)=\lim_{n \rightarrow \infty} \bruch{1}{n}e^{-\bruch{x}{n}}=0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow f_{n}[/mm] ist punktw. konv.
>
> [mm]\lim_{n \rightarrow \infty} \sup_{x \in [0; \infty)} |f_{n}(x)[/mm]
> - f(x)| = [mm]\lim_{n \rightarrow \infty} \sup_{x \in [0; \infty)} |\bruch{1}{n}e^{-\bruch{x}{n}}-0|[/mm]
> = [mm]\lim_{n \rightarrow \infty} \sup_{x \in [0; \infty)} \bruch{1}{n}e^{-\bruch{x}{n}}[/mm]
> = [mm]\lim_{n \rightarrow \infty} \sup_{x \in [0; \infty)} \bruch{1}{ne^{\bruch{x}{n}}}[/mm]
> = [mm]\lim_{n \rightarrow \infty} \bruch{1}{n}[/mm] = 0
>
> [mm]\Rightarrow f_{n}(x)[/mm] ist glm. konv.
>
> Und [mm]\bruch{1}{n}[/mm] ist sup, da 0 [mm]\le f_{n} \le \bruch{1}{n}[/mm]
>
> ist das so komplett richtig????
Ja
FRED
>
> Danke schonmal.
>
> Grüße
> Ali
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