Funktionenfolge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:26 Mi 10.12.2008 | | Autor: | Aquilera |
| Aufgabe | Es seien {} [mm] \not= [/mm] D [mm] \subset \IR, f_{n} [/mm] eine folge in Abb(D, [mm] \IR [/mm] ) und f [mm] \in [/mm] bb(D, [mm] \IR [/mm] ).
Prüfen sie, ob die folgenden Aussagen zutreffen und beweisen sie ihr Ergebnis.
a) Sind alle [mm] f_{n} [/mm] unbeschränkt und konvergiert [mm] (f_{n} [/mm] punktweise gegen f, so ist auch f unbeschränkt.
b) Sind alle [mm] f_{n} [/mm] unbeschränkt und konvergiert [mm] (f_{n} [/mm] gleichmäßig gegen f, so ist auch f unbeschränkt. |
Nun, ich habe echt große Schwierigkeiten mit den Funktionenfolgen, obwohl sich die Wolken schon etwas gelichtet haben.
ich habe bei a die Vermutung, daß die Aussage flsch ist, finde aber kein Beispiel dafür, weil mir das mit der Kovergenz noch nicht so ganz eingehen will
die aussage b hingegen finde ich richtig, wegen der Definition, daß ja [mm] sup|f_{n} [/mm] - f| < [mm] \varepsilon [/mm] für alle n [mm] \in \IN [/mm] gelten muß und daraus ja "irgendwie" das unbeschränkte folgt.
aber ich kann meine Vermutungen nicht beweisen....
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:24 Mi 10.12.2008 | | Autor: | fred97 |
a) ist falsch. Nimm D = (0, [mm] \infty) [/mm] und [mm] f_n(x) [/mm] = [mm] \bruch{1}{nx}.
[/mm]
Dann sind alle [mm] f_n [/mm] unbeschränkt, [mm] (f_n) [/mm] konv. auf D punktweise gegen 0 , aber die Nullfunktion ist beschränkt.
b) ist richtig: Annahme : f ist auf D beschränkt. Dann gibt es ein c>0 mit |f(x)| [mm] \le [/mm] c für jedes x in D.
Zu [mm] \varepsilon [/mm] = 1 gibt es ein N [mm] \in \IN [/mm] mit
[mm] |f_n(x) [/mm] -f(x)| < 1 für alle x in D und alle n>N,
also: [mm] |f_n(x)| [/mm] = [mm] |f_n(x) [/mm] -f(x) + f(x)| [mm] \le |f_n(x) [/mm] -f(x)| + |f(x)| [mm] \le [/mm] 1+c für x in D und n>N.
Damit sind alle [mm] f_n [/mm] mit n>N beschränkt. Widerspruch.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:08 Do 11.12.2008 | | Autor: | Aquilera |
hätte nicht gedcht, daß es so einfach ist :)
Danke dir für die tolle Hilfe, vor allem für das Beispiel.
Fällt mir wirklich hart, die Funktionenfolgen für mich zu erschließen.
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