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Hallo zusammen,
Ich sitze gerade an dieser Aufgabe und komme leider nicht weiter. Könnt Ihr mir beim Ansatz helfen?
Die Funktionenfolge lautet:
[mm] f_{n} [/mm] : [0,1] [mm] \to \IR [/mm] , [mm] x\to \bruch{n^\alpha *x}{1+(nx)^2} [/mm] für [mm] n\in \IN [/mm] und [mm] \alpha \in \IR
[/mm]
Mir ist klar, dass ich eine Fallunterscheidung nach [mm] \alpha [/mm] machen muss. Kann ich von [mm] \alpha [/mm] =2 ausgehen? Für [mm] \alpha [/mm] =2 habe ich nämlich raus,dass die Funktionenfolge gegen die Funktion 1/x für x [mm] \in [/mm] (0,1] und 0 für x=0 konvergiert.
Stimmt mein Ansatz so?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:13 Mo 26.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo zusammen,
> Ich sitze gerade an dieser Aufgabe und komme leider nicht
> weiter. Könnt Ihr mir beim Ansatz helfen?
>
> Die Funktionenfolge lautet:
>
> [mm]f_{n}[/mm] : [0,1] [mm]\to \IR[/mm] , [mm]x\to \bruch{n^\alpha *x}{1+(nx)^2}[/mm]
> für [mm]n\in \IN[/mm] und [mm]\alpha \in \IR[/mm]
>
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> Mir ist klar, dass ich eine Fallunterscheidung nach [mm]\alpha[/mm]
> machen muss. Kann ich von [mm]\alpha[/mm] =2 ausgehen? Für [mm]\alpha[/mm]
> =2 habe ich nämlich raus,dass die Funktionenfolge gegen
> die Funktion 1/x für x [mm]\in[/mm] (0,1] und 0 für x=0
> konvergiert.
>
>
> Stimmt mein Ansatz so?
Ja
Du solltest aber auch den Fall [mm] \alpha [/mm] <2 untersuchen.
FRED
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Genau an dieser Stelle ist mein Problem. Muss ich gleichzeitig für x und [mm] \alpha [/mm] eine Fallunterscheidung machen? Ansonsten wüsste ich nicht wogegen es konvergiert.
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:30 Do 29.05.2014 | | Autor: | Lisa641 |
Hallo,
ich beschäftige mich mit derselben Aufgabe. Ich habe auch eine Fallunterscheidung nach [mm] \alpha [/mm] durchgeführt. Als ersten Fall habe ich [mm] \alpha [/mm] = 2 betrachtet. Doch was mache ich für [mm] \alpha [/mm] < 2 und >2? Wenn ich [mm] \alpha [/mm] <2 betrachte, ist die 1 noch mit drin. Muss ich diese separat betrachten wie [mm] 0<\alpha<2 [/mm] ??
Muss ich dann zusätzlich eine Fallunterscheidung für x durchführen? Ich hatte mir überlegt die Fälle x=1 und x=0 zu betrachten. Wäre das so richtig?
Danke :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:56 Do 29.05.2014 | | Autor: | hippias |
[mm] $f_{n}(0)$ [/mm] konvergiert immer. Im uebrigen hat man [mm] $f_{n}(x)= n^{\alpha-2}\frac{x}{\frac{1}{n^{2}}+x^{2}}$, [/mm] in welcher Gestalt man die Konvergenz sehr schoen studieren kann. Die ganzen Fallunterscheidungen sind nuetzlich.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:33 Do 29.05.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
du willst doch wohl die punktweise Konvergenz und oder die glm. Konvergenz zeigen.
mach erst die punktweise für alle x und den verschiedenen [mm] \alpha, [/mm] danach überlege die glm konvergenz.
Gruß leduart
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