Funktionen und Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:31 Di 15.12.2009 | | Autor: | Ferolei |
| Aufgabe | Untersuchen Sie folgende Funktionen f,g: [mm] \IR \to \IR [/mm] auf Stetigkeit.
a)
[mm] f(x)=\begin{cases} x^2+1, & \mbox{für } x\ge 0\\ \wurzel{1-x}, & \mbox{für } x< 0 \end{cases}
[/mm]
b) [mm] g(x)=\begin{cases} x, & \mbox{für} \quad x \in \IQ\\ 0, &\mbox{für}\quad x \in \IR \backslash\IQ \end{cases} [/mm] |
Hallo,
ich habe mir bisher nur die a) angeschaut.
Also ich denke, dass hier nichts stetig ist, da zwsichen zwei beliebigen rationalen Zahlen immer mind. eine irrationale Zahl liegt.
Diese unstetigen Stellen sind dann bei allen rationalen Zahlen. Der Graph müsste doch eine Parallele zur x-Achse in der Höhe 1 sein ?
Aber mit welchen Sätzen oder Definitionen kann man das nun beweisen?
lG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:32 Di 15.12.2009 | | Autor: | Ferolei |
Hilfe! Ich kriege die korrekte Notation hiermit nicht hin!!!
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> Hilfe! Ich kriege die korrekte Notation hiermit nicht
> hin!!!
Hallo,
das hab' ich für Dich geregelt, jetzt solltest Du aber noch das Richtige unter die Wurzel in der ersten Funktion schreiben.
(Mit Klick auf "bearbeiten" kannst Du Deine eigenen Posts bearbeiten.)
Gruß v, Angela
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:44 Di 15.12.2009 | | Autor: | iks |
Hallo Ferolei!
> Untersuchen Sie folgende Funktionen f,g: [mm]\IR \to \IR[/mm] auf
> Stetigkeit.
>
> b) [mm]g(x)=\begin{cases} x, & \mbox{für} \quad x \in \IQ\\ 0, &\mbox{für}\quad x \in \IR \backslash\IQ \end{cases}[/mm]
>
Ich denke die Unstetigkeit in allen Punkten [mm] $x\in\IR$ [/mm] kannst du gut du durch Widerspruch zeigen. Nimm an, dass $g$ stetig wäre. Dann gibt es zu [mm] $0<\epsilon
Bei (a) mußt du wohl die Aufgabe noch präzisieren.
mFg iks
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:23 Mi 16.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Ferolei!
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> > Untersuchen Sie folgende Funktionen f,g: [mm]\IR \to \IR[/mm] auf
> > Stetigkeit.
> >
> > b) [mm]g(x)=\begin{cases} x, & \mbox{für} \quad x \in \IQ\\ 0, &\mbox{für}\quad x \in \IR \backslash\IQ \end{cases}[/mm]
>
> >
>
> Ich denke die Unstetigkeit in allen Punkten [mm]x\in\IR[/mm] kannst
> du gut du durch Widerspruch zeigen. Nimm an, dass [mm]g[/mm] stetig
> wäre. Dann gibt es zu [mm]0<\epsilon
> so dass [mm]|g(x)-g(y)|<\epsilon[/mm] Für alle x,y mit
> [mm]|x-y|<\delta(\epsilon)[/mm] gilt. und dann Widerspruch bei
> richtiger Wahl von [mm]x,y[/mm] und [mm]?[/mm].
>
> Bei (a) mußt du wohl die Aufgabe noch präzisieren.
>
> mFg iks
Hallo iks,
1. Die Funktion g ist in [mm] x_0= [/mm] 0 stetig !
2. Dein Vorschlag zeigt nur, dass g nicht gleichmäßig stetig auf [mm] \IR [/mm] ist. Es war aber "nur" nach Stetigkeit gefragt
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:18 Mi 16.12.2009 | | Autor: | fred97 |
Die Funktion in a) hast Du unvollständig angegeben, also kann ich dazu nichts sagen
ZU b)
1. Es ist $|g(x)| [mm] \le [/mm] |x|$ für jedes x [mm] \in \IR. [/mm] Ist Dir klar, dass daraus die Stetigkeit von g in [mm] x_0 [/mm] = 0 folgt ?
2: Sei [mm] x_0 \not= [/mm] 0. Nimm irgendeine Folge [mm] (r_n) [/mm] rationaler Zahlen und [mm] (i_n) [/mm] irgendeine Folge irrationaler Zahlen mit der Eigenschaft
[mm] $r_n \to x_0$ [/mm] und [mm] $i_n \to x_0$ [/mm]
Nun schau Dir mal an, was die Bildfolgen [mm] (g(r_n)) [/mm] und [mm] (g(i_n)) [/mm] machen. Ist g in [mm] x_0 [/mm] stetig ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:38 Mi 16.12.2009 | | Autor: | Ferolei |
Hallo zusammen, die a) oben habe ich geänder:
>
> 1. Es ist [mm]|g(x)| \le |x|[/mm] für jedes x [mm]\in \IR.[/mm] Ist Dir
> klar, dass daraus die Stetigkeit von g in [mm]x_0[/mm] = 0 folgt ?
>
Nein, leider ist mir das nicht klar. Benutzt du hier eine bestimmte Defintion?
Da steht ja, dass der Betrag aller Bilder der Funktion [mm] \le [/mm] dem Betrag der Werte des Definitionsbereichs sind.
Alle rationalen Zahlen werden auf sich selbst abgebildet, oderf auf irgendeine beliebige rationale Zahl?
Und alle reellen Zaheln ohne die rat. , also die irrationalen, werden auf irrat. Zahlen wieder abgebildet.
> 2: Sei [mm]x_0 \not=[/mm] 0. Nimm irgendeine Folge [mm](r_n)[/mm] rationaler
> Zahlen und [mm](i_n)[/mm] irgendeine Folge irrationaler Zahlen mit
> der Eigenschaft
>
> [mm]r_n \to x_0[/mm] und [mm]i_n \to x_0[/mm]
>
> Nun schau Dir mal an, was die Bildfolgen [mm](g(r_n))[/mm] und
> [mm](g(i_n))[/mm] machen. Ist g in [mm]x_0[/mm] stetig ?
>
Hallo, für [mm] (r_n) [/mm] kann ich ja [mm] \bruch{1}{n} [/mm] wählen.
Wenn [mm] x_0 [/mm] ja [mm] \not= [/mm] 0 sein soll, werden die Funktionswerte ja auf rat. Zahlen wieder abgebildet,oder?
Da aber die harm. Reihe für [mm] n\to\infty [/mm] gegen 0 konvergiert, gilt ja schon:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}f(x)\not= [/mm] f(0) schreibt man das so?
So parallel wählt man eine Folge mit irrationaler Zahlen....da fällt mir aber spontan keine ein... hatte erst an [mm] \wurzel{x} [/mm] gedacht, aber die ist ja nicht rein irrational.
Lg, Ferolei
> FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:10 Mi 16.12.2009 | | Autor: | iks |
> Hallo zusammen, die a) oben habe ich geänder:
>
> >
> > 1. Es ist [mm]|g(x)| \le |x|[/mm] für jedes x [mm]\in \IR.[/mm] Ist Dir
> > klar, dass daraus die Stetigkeit von g in [mm]x_0[/mm] = 0 folgt ?
> >
> Nein, leider ist mir das nicht klar. Benutzt du hier eine
> bestimmte Defintion?
Das ist eine Folgerung aus dem Einschließungskriterium für Folgen.
ist [mm] $(x_n)$ [/mm] eine Nullfolge dann ist nach bereits gesagtem [mm] $0\leq|g(x_n)|\leq|x_n|$ [/mm] und somit [mm] $(g(x_n))_{n\in\IN}$ [/mm] auch eine Nullfolge. Die Behauptung folgt dann mit dem Folgenkriterium der Stetigkeit.
>
> > 2: Sei [mm]x_0 \not=[/mm] 0. Nimm irgendeine Folge [mm](r_n)[/mm] rationaler
> > Zahlen und [mm](i_n)[/mm] irgendeine Folge irrationaler Zahlen mit
> > der Eigenschaft
> >
> > [mm]r_n \to x_0[/mm] und [mm]i_n \to x_0[/mm]
> >
> > Nun schau Dir mal an, was die Bildfolgen [mm](g(r_n))[/mm] und
> > [mm](g(i_n))[/mm] machen. Ist g in [mm]x_0[/mm] stetig ?
> >
>
> Hallo, für [mm](r_n)[/mm] kann ich ja [mm]\bruch{1}{n}[/mm] wählen.
> Wenn [mm]x_0[/mm] ja [mm]\not=[/mm] 0 sein soll, werden die Funktionswerte
> ja auf rat. Zahlen wieder abgebildet,oder?
> Da aber die harm. Reihe für [mm]n\to\infty[/mm] gegen 0
> konvergiert, gilt ja schon:
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}f(x)\not=[/mm] f(0) schreibt man das
> so?
Nein es ist doch [mm] $\lim_{n\to\infty}f(\frac{1}{n})=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0=f(0)=f(\lim_{n\to\infty}x_n)$.
[/mm]
Desweiteren sollte dein [mm] $x_0$ [/mm] doch aber von Null verschieden sein. Die Wahl von [mm] $r_n=\frac{1}{n}$ [/mm] ist also nich so gut.
>
> So parallel wählt man eine Folge mit irrationaler
> Zahlen....da fällt mir aber spontan keine ein... hatte
> erst an [mm]\wurzel{x}[/mm] gedacht, aber die ist ja nicht rein
> irrational.
>
Eine konkrete Folge mußt du dir doch nicht ausdenken.
Was ist denn: [mm] $\lim_{n\to\infty}g(r_n)$ [/mm] und was ist [mm] $\lim_{n\to\infty}g(i_n)$? [/mm] Wenn $g$ in [mm] $x_o$ [/mm] stetig wäre was müßte dann gelten?.
mFg iks
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:22 Mi 16.12.2009 | | Autor: | Ferolei |
> Was ist denn: [mm]\lim_{n\to\infty}g(r_n)[/mm] und was ist
> [mm]\lim_{n\to\infty}g(i_n)[/mm]? Wenn [mm]g[/mm] in [mm]x_o[/mm] stetig wäre was
> müßte dann gelten?.
Wenn g in [mm] x_0 [/mm] stetig wäre, dann gilt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} g(r_n)=g(x_0) [/mm] oder nicht? Wobei [mm] x_0 [/mm] der Grenzwert von [mm] r_n [/mm] ist.
Also wir hatten in der Vorlesung bisher den Zwischenwertsatz und Def. von Punktstetigkeit.... mehr weiß ich leider zur Stetigkeit noch garnicht.
lG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:28 Mi 16.12.2009 | | Autor: | fred97 |
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> > Was ist denn: [mm]\lim_{n\to\infty}g(r_n)[/mm] und was ist
> > [mm]\lim_{n\to\infty}g(i_n)[/mm]? Wenn [mm]g[/mm] in [mm]x_o[/mm] stetig wäre was
> > müßte dann gelten?.
>
> Wenn g in [mm]x_0[/mm] stetig wäre, dann gilt
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} g(r_n)=g(x_0)[/mm] oder nicht? Wobei
> [mm]x_0[/mm] der Grenzwert von [mm]r_n[/mm] ist.
Du brauchst doch nur die Def. von g !
es ist [mm] g(r_n) [/mm] = [mm] r_n [/mm] für jedes n , also [mm] g(r_n) \to x_0
[/mm]
und es ist [mm] g(i_n) [/mm] = 0 für jedes n , also [mm] g(i_n) \to [/mm] 0
Hilft das ?
FRED
>
> Also wir hatten in der Vorlesung bisher den
> Zwischenwertsatz und Def. von Punktstetigkeit.... mehr
> weiß ich leider zur Stetigkeit noch garnicht.
>
> lG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:46 Mi 16.12.2009 | | Autor: | Ferolei |
Ja, die Erklärung hilft schon.
In der Aufgabe steht ja: untersuche...
Heißt das, dass ich daraus dann schließen kann :
> es ist [mm]g(r_n)[/mm] = [mm]r_n[/mm] für jedes n , also [mm]g(r_n) \to x_0[/mm]
>
> und es ist [mm]g(i_n)[/mm] = 0 für jedes n , also [mm]g(i_n) \to[/mm] 0
>
>
dass, die Funktion im Punkt [mm] x_0=0 [/mm] stetig ist und in allen anderen nicht?
lG.Ferolei
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:34 Do 17.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> Ja, die Erklärung hilft schon.
>
> In der Aufgabe steht ja: untersuche...
>
> Heißt das, dass ich daraus dann schließen kann :
>
>
> > es ist [mm]g(r_n)[/mm] = [mm]r_n[/mm] für jedes n , also [mm]g(r_n) \to x_0[/mm]
>
> >
> > und es ist [mm]g(i_n)[/mm] = 0 für jedes n , also [mm]g(i_n) \to[/mm] 0
> >
> >
>
> dass, die Funktion im Punkt [mm]x_0=0[/mm] stetig ist und in allen
> anderen nicht?
Bingo !
FRED
>
> lG.Ferolei
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> Untersuchen Sie folgende Funktionen f,g: [mm]\IR \to \IR[/mm] auf
> Stetigkeit.
>
> a)
> [mm]f(x)=\begin{cases} x^2+1, & \mbox{für } x\ge 0\\ \wurzel{1-x}, & \mbox{für } x< 0 \end{cases}[/mm]
>
> ich habe mir bisher nur die a) angeschaut.
>
Hallo,
und was hast Du da gesehen?
In weiten Bereichen ist die Stetigkeit ja von vornherein klar. Wo und weshalb?
Bleibt der Punkt x=0.
Zu prüfen ist, ob die Funktion für [mm] x\to [/mm] 0 einen Grenzwert hat, und wenn ja, ob es ihr Funktionswert ist. (GW von links und von rechts berechnen.)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:51 Mi 16.12.2009 | | Autor: | Ferolei |
Hallo Angela,
>
> In weiten Bereichen ist die Stetigkeit ja von vornherein
> klar. Wo und weshalb?
Ja, das ist eine gute Frage. Ich sehe das auf Anhieb leider überhaupt nicht.
> Bleibt der Punkt x=0.
>
> Zu prüfen ist, ob die Funktion für [mm]x\to[/mm] 0 einen Grenzwert
> hat, und wenn ja, ob es ihr Funktionswert ist. (GW von
> links und von rechts berechnen.)
>
Was bedeutet den Grenwertz von links und von rechts berechnen? Das hatten wir in der Vorlesung nicht.
> Gruß v. Angela
lG, Ferolei
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:01 Mi 16.12.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Ferolei!
> > In weiten Bereichen ist die Stetigkeit ja von vornherein
> > klar. Wo und weshalb?
>
> Ja, das ist eine gute Frage. Ich sehe das auf Anhieb leider
> überhaupt nicht.
Als Komposition stetiger Funktionen ist Deine zusammengesetzte Funktion für alle $x \ [mm] \not= [/mm] \ 0$ stetig.
Kritisch ist also lediglich die "Nahtstelle" mit [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 0$ .
> Was bedeutet den Grenwertz von links und von rechts
> berechnen? Das hatten wir in der Vorlesung nicht.
Das bedeutet, dass Du folgende Grenzwerte ermitteln und vergleichen musst:
[mm] $$\limes_{x\rightarrow 0\uparrow}f(x) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0\uparrow}\wurzel{1-x} [/mm] \ = \ ...$$
[mm] $$\limes_{x\rightarrow 0\downarrow}f(x) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0\downarrow}(x^2+1) [/mm] \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:22 Mi 16.12.2009 | | Autor: | Ferolei |
> Als Komposition stetiger Funktionen ist Deine
> zusammengesetzte Funktion für alle [mm]x \ \not= \ 0[/mm] stetig.
>
Ist eine Komposition stetiger Funktionen die Hintereinanderausfürhung gemeint? Also [mm] g\circf [/mm] ?
Denn dann verstehe ich nicht, wieso ich nur das betrachten muss? Weil ich ja eigentlich auf Stetigkeit überprüfen soll, aber für den Verkettungssatz ja schon davon ausgehe, 2 stetige funktionen zu haben???
> Kritisch ist also lediglich die "Nahtstelle" mit [mm]x_0 \ = \ 0[/mm]
> .
>
> Das bedeutet, dass Du folgende Grenzwerte ermitteln und
> vergleichen musst:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0\uparrow}f(x) \ = \ \limes_{x\rightarrow 0\uparrow}\wurzel{1-x} \ = \ ...[/mm]
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0\downarrow}f(x) \ = \ \limes_{x\rightarrow 0\downarrow}(x^2+1) \ = \ ...[/mm]
>
Aber das divergiert doch ????
also [mm] \limes_{x\rightarrow 0\downarrow}f(x) [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow 0\downarrow}\wurzel{1-x} =+\infty
[/mm]
und
[mm] \limes_{x\rightarrow 0\uparrow}f(x) [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow 0\uparrow}(x^2+1) =+\infty
[/mm]
Was sagt mir das ? Wenn die Funktion schon divergiert, kann ich ja schlecht eine konvergente Folge finden...
> Gruß
> Loddar
>
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> > Als Komposition stetiger Funktionen ist Deine
> > zusammengesetzte Funktion für alle [mm]x \ \not= \ 0[/mm] stetig.
> >
>
> Ist eine Komposition stetiger Funktionen die
> Hintereinanderausfürhung gemeint? Also [mm]g\circ f[/mm] ?
Hallo,
es ist damit Verkettung, Addition , Multiplikation, Quotientenbildung gemeint.
> Denn dann verstehe ich nicht, wieso ich nur das betrachten
> muss? Weil ich ja eigentlich auf Stetigkeit überprüfen
> soll, aber für den Verkettungssatz ja schon davon ausgehe,
> 2 stetige funktionen zu haben???
Du betrachtest f eingeschränkt auf [mm] ]0,\infty[ [/mm] und [mm] ]-\infty,0[ [/mm] und stellst fest: hier ist die Funktion jeweils stetig, weil es sich um Funktionen handelt, die aus der Identität, der konstanten Funktion und der Wurzelfunktion zusammengebastelt wurden.
>
>
> > Kritisch ist also lediglich die "Nahtstelle" mit [mm]x_0 \ = \ 0[/mm]
> > .
> >
>
> > Das bedeutet, dass Du folgende Grenzwerte ermitteln und
> > vergleichen musst:
> >
> > [mm]\limes_{x\rightarrow 0\uparrow}f(x) \ = \ \limes_{x\rightarrow 0\uparrow}\wurzel{1-x} \ = \ ...[/mm]
>
> >
> > [mm]\limes_{x\rightarrow 0\downarrow}f(x) \ = \ \limes_{x\rightarrow 0\downarrow}(x^2+1) \ = \ ...[/mm]
>
> >
>
>
> Aber das divergiert doch ????
Was für ein Blödsinn!
Rechne jetzt mal richtig.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:18 Do 17.12.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Ferolei!
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0\downarrow}f(x)[/mm] = [mm]\limes_{x\rightarrow 0\downarrow}\wurzel{1-x} =+\infty[/mm]
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0\uparrow}f(x)[/mm] = [mm]\limes_{x\rightarrow 0\uparrow}(x^2+1) =+\infty[/mm]
Dir ist aber schon aufgefallen, dass hier die Grenzwerte für den Wert $x \ [mm] \rightarrow [/mm] \ [mm] \red{0}$ [/mm] betrachtet werden?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:57 Do 17.12.2009 | | Autor: | Ferolei |
> Dir ist aber schon aufgefallen, dass hier die Grenzwerte
> für den Wert [mm]x \ \rightarrow \ \red{0}[/mm] betrachtet werden?
>
>
Das verstehe ich nicht. Ich dachte diese 0 mit Pfeil nach oben bedeutet, dass ich mir alle Werte für x anschaue, die größer 0 sind?
> Gruß
> Loddar
>
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> > Dir ist aber schon aufgefallen, dass hier die Grenzwerte
> > für den Wert [mm]x \ \rightarrow \ \red{0}[/mm] betrachtet werden?
> >
> >
>
> Das verstehe ich nicht. Ich dachte diese 0 mit Pfeil nach
> oben bedeutet, dass ich mir alle Werte für x anschaue, die
> größer 0 sind?
Hallo,
für "alle Werte, die größer als 0 sind" ließe sich außer bei konstanten Funktionen verflixt schlecht ein gemeinsamer GW angeben, oder?
Der Pfeil bedeutet, daß Du gucken sollst, was passiert, wenn Du Dich von unten der 0 näherst. Es geht hier um GWe gegen 0.
Gruß v. Angela
>
>
> > Gruß
> > Loddar
> >
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:17 Do 17.12.2009 | | Autor: | Ferolei |
Heißt das, dass ich für x 0 einsetzen soll???
Dann wäre
[mm] \limes_{x\rightarrow 0\uparrow}f(x) [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow 0\uparrow}\wurzel{1-x} [/mm] = [mm] \wurzel{1}=1
[/mm]
und
[mm] \limes_{x\rightarrow 0\downarrow}f(x) [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow 0\downarrow}(x^2+1) [/mm] = 1
Und f(0)=1 , also ist sie rechtsseitig und linksseititg stetig???
Jetzt ist mir aber nicht ganz klar, warum wir uns nur diese Stelle anschauen... wieso ist der Rest so offentsichtlich?
lG, Ferolei
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> Heißt das, dass ich für x 0 einsetzen soll???
>
> Dann wäre
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0\uparrow}f(x)[/mm] = [mm]\limes_{x\rightarrow 0\uparrow}\wurzel{1-x}[/mm]
> = [mm]\wurzel{1}=1[/mm]
>
> und
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0\downarrow}f(x)[/mm] =
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0\downarrow}(x^2+1)[/mm] = 1
>
> Und f(0)=1 , also ist sie rechtsseitig und linksseititg
> stetig???
Hallo,
der grenzwert von links und rechts ist beidemale =1, was gleich dem Funktionswert an der Stelle 0 ist. Also ist die Funktion stetig im Punkt x=0.
>
>
> Jetzt ist mir aber nicht ganz klar, warum wir uns nur diese
> Stelle anschauen... wieso ist der Rest so
> offentsichtlich?
Hab' ich doch schon gesagt: eingeschränkt auf [mm] \IR_{+} [/mm] bzw. [mm] \IR_{-} [/mm] ist die Funktion als Komposition stetiger Funktionen stetig.
Wenn Dir hier etwas unklar ist, müßtest Du mal konkreter nachfragen.
>
> lG, Ferolei
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:25 Fr 18.12.2009 | | Autor: | Ferolei |
Alles geklärt. Danke.
Aber ich habe noch eine Frage.
In der Aufgabe steht doch nur, Untersuche nach Stetigkeit.
Wenn ich jetzt bei b) eine Folge finde, für die die Stetigkeit nicht mehr erfüllt ist, reicht das nicht?
Wenn ich zB [mm] (a_n) [/mm] = [mm] (1+\bruch{1}{n})^n [/mm] nehme... die konvergiert ja gegen e.
Also [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} g((1+\bruch{1}{n})^n)= (1+\bruch{1}{n})^n \to [/mm] e [mm] \not= [/mm] g(e)= 0.
LG, Ferolei
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Hallo Ferolei,
im Prinzip hast Du Recht. Dein Beispiel allerdings zeigt nur die linksseitige Unstetigkeit bei e.
Nimm mal die Folgen [mm] c_n=q+\bruch{1}{\wurzel{n^2+1}} [/mm] und [mm] d_n=q-\bruch{1}{\wurzel{n^2+1}} [/mm] mit einem beliebigen [mm] q\in\IQ. [/mm] Alle Folgenglieder sind irrational, beide Folgen konvergieren aber gegen eine (eben beliebig wählbare) rationale Zahl.
Also ist die Funktion in allen rationalen Punkten unstetig.
lg
reverend
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