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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:32 Fr 01.10.2004 | | Autor: | Janni |
Hallo,
ich brauche Eure Hilfe!!! Ich kann keine Grenzwerte berechnen, das verstehe ich einfach nicht!?
Könnt Ihr mir helfen?
Gegeben sei die Funktion x²+2x-3 geteilt durch x²+x-2
Bestimmen Sie den Definitionsbereich, Nullstellen, Asymptoten, Grenzwerte(?) und Näherungsverhalten(?) der Funktion f.
Ich weiß echt nicht, was ich machen soll.
Außerdem komme ich bei diesen Aufgaben nicht weiter.
Berechnen Sie folgende Grenzwerte:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] x²+3x+4 geteilt durch [mm] x^3-5
[/mm]
Vielleicht kann mir ja jemand erklären, wie man Grenzwerte berechnet, und ob man nach einem bestimmten System vorgehen kann oder muß, ich habe überhaupt keine Ahnung, wie das geht.
Vielen Dank!!!
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Hallo Janni!
So viele Wünsche auf einmal *g*.
Mal sehen, ob ich dir weiterhelfen kann.
Also: Du hast da die Funktion
[mm]f(x)=\bruch{x^2+2x-3} {x^2+x-2}[/mm]
Erstmal kann man die Funktion vereinfachen, denn [mm]f(x)=\bruch{x^2+2x-3} {x^2+x-2}
=\bruch{(x-1)(x+3)} {(x-1)(x+2)}= \bruch{x+3} {x+2} [/mm]
Zunächst mal der Definitionsbereich. Der Bruch ist doch eigentlich immer definiert, außer wenn der Nenner 0 ist, weil man ja nicht durch 0 teilen darf. Also darf
[mm]{x+2}[/mm] nicht 0 sein.
Das heißt im Klartext, x darf nicht -2 sein.
Das wars schon mit dem Definitionsbereich.
Wenn man jetzt von links an die Stelle -2 rangeht (was mit einem TR leicht nachzuprüfen ist, geht der Fkt.wert gegen unendlich, von rechts aber gegen +unendlich. Das heißt, daß der Graph eine senkrechte Asymptote an der Stelle x=-2 hat.
Damit kommen wir schon zum Näherungsverhalten, das heißt, die Grenzwerte für x gegen + oder unendlich. Da können wir jetzt einen ganz leganten Trick anwenden. Wir klammern in dem Bruch einfach oben und unten x aus und kürzen das dann. Das sieht dann so aus:
[mm]\bruch{x+3} {x+2}=\bruch{x(1+\bruch{3} {x})} {x(1+\bruch{2} {x})} =\bruch{1+\bruch{3} {x}} {1+\bruch{2} {x}} [/mm]
Soweit so gut.
Wenn jetzt x seeeehr große Werte annimmt (d.h. gegen + oder unendlich geht), werden [mm]\bruch{3} {x}[/mm] und [mm]\bruch{2} {x}[/mm] sehr klein, weshalb dann ja praktisch nur noch [mm]\bruch{1} {1}=1[/mm] übrig bleibt.
Das wiederum heißt, das der Graph die Gerade y=1 als Asymptote sowohl nach links als auch nach rechts hat.
Zu dem anderen Grenzwert:
Wenn x sehr groß wird, wächst [mm] x^5 [/mm] sehr viel schneller als [mm] x^3, [/mm] weshalb der Term für
x->unendlich gegen 0 geht.
Ich hoffe, daß ich etwas helfen konnte, wenn nicht, einfach noch mal nachfragen,
Gruß,
Christian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:00 Fr 01.10.2004 | | Autor: | Janni |
Hallo Christian19,
vielen Dank für Deine schnelle Hilfe. Du hast mir wirklich geholfen.
Danke nochmal.
Viele Grüße
Janni
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[Dateianhang nicht öffentlich]
So schaut dein graf aus
mfg flo
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: BMP) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:27 Fr 01.10.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Christian
ein kleiner Fehler steckt noch in deiner Antwort:
> Also: Du hast da die Funktion
> [mm] $f(x)=\bruch{x^2+2x-3} {x^2+x-2}$
[/mm]
>
> Erstmal kann man die Funktion vereinfachen, denn
> [mm] $f(x)=\bruch{x^2+2x-3} {x^2+x-2}=\bruch{(x-1)(x+3)} {(x-1)(x+2)}=\bruch{x+3} [/mm] {x+2}$
> Zunächst mal der Definitionsbereich. Der Bruch ist doch eigentlich immer definiert, außer wenn der Nenner 0 ist, weil man ja nicht durch 0 teilen darf.
> Also darf $x+2$ nicht $0$ sein.
> Das heißt im Klartext, $x$ darf nicht $-2$ sein.
Das ist nur die halbe Wahrheit!
$x$ darf auch nicht $1$ sein! Denn: für die Bestimmung des Definitionsbereiches einer Funktion ist die Funktion, so wie sie definiert ist, zu untersuchen, nicht nach Vereinfachungen, hier also: nicht nach dem Kürzen!
Vor dem Kürzen hat die Funktion diese Gestalt:
[mm] $f(x)=\bruch{(x-1)(x+3)} [/mm] {(x-1)(x+2)}$
Da würde der Nenner $= 0$ werden, wenn $x=-2$ oder $x=1$ ist.
Gewiss, dem Funktionsraphen sieht man das dann schon nicht an, aber eine Lücke ist trotzdem vorhanden!
Mit lieben Grüssen
Paul
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Hallo Janni,
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> ich brauche Eure Hilfe!!! Ich kann keine Grenzwerte
> berechnen, das verstehe ich einfach nicht!?
> Könnt Ihr mir helfen?
>
Schau doch mal Grenzwertsätze oder Folgen und folge den weiteren Verweisen.
Dann sollte alles klarer werden.
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