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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:56 Di 23.08.2011 | | Autor: | AT-Colt |
Hallo Leute,
wie es scheint, bin ich etwas aus der Übung, was Fourier-Transformationen betrifft. Jedenfalls habe ich hier ein paar Zeilen, die einfach nicht zusammenpassen wollen.
Gegeben seien eine Funktion [mm]f:\Omega\subset\mathbb{R}^{3}\rightarrow\mathbb{R}[/mm], bzw. deren periodische Fortsetzung, sowie eine Funktion [mm]g:\Omega[\varepsilon]\rightarrow\mathbb{R}[/mm], bzw. deren periodische Fortsetzung, wobei Omega ein Spat ist, der von den Vektoren [mm]\mathbf{a}[/mm], [mm]\mathbf{b}[/mm] und [mm]\mathbf{c}[/mm] aufgespannt wird und [mm]\Omega[\varepsilon][/mm] der Spat, der aus [mm]\Omega[/mm] entsteht, wenn man jedes Element von [mm]\Omega[/mm] mit der Matrix [mm](\mathbf{1}+\boldsymbol{\varepsilon})[/mm] multipliziert. Ich nehme [mm]\varepsilon[/mm] als klein und symmetrisch an, so dass die Inverse als [mm](\mathbf{1}-\boldsymbol{\varepsilon})[/mm] geschrieben werden kann.
Man beachte zunächst, dass die reziproken Vektoren im zweiten Fall gerade [mm](\mathbf{1}-\boldsymbol{\varepsilon})[/mm] mal den reziproken Vektoren des ersten Falls entsprechen.
Ich definiere: [mm]\mathbf{r}[\varepsilon] := (\mathbf{1}+\boldsymbol{\varepsilon})\mathbf{r}[/mm], [mm]\mathbf{G}[\varepsilon] := (\mathbf{1}-\boldsymbol{\varepsilon})\mathbf{G}[/mm]
Nun kann ich zunächst einmal zwei äquivalente Ausdrücke hinschreiben:
[mm]\int_{\Omega}f(\mathbf{r})g(\mathbf{r}[\varepsilon])\det(1+\varepsilon)d^{3}r \stackrel{\mathbf{r}_{\varepsilon}=\mathbf{r}[\varepsilon]}{=} \int_{\Omega[\varepsilon]}f((\mathbf{1}-\boldsymbol{\varepsilon})\mathbf{r}_{\varepsilon})g(\mathbf{r}_{\varepsilon})d^{3}r_{\varepsilon}[/mm]
Unter Berücksichtigung des Tranformationsverhaltens [mm]\widehat{f(\mathbf{A}\cdot)}(\mathbf{G}) = \frac{1}{\det(A)}\hat{f}(\mathbf{A}^{-1,T}\mathbf{G})[/mm] erhalte ich für die linke Seite, wenn ich in reziproke Vektoren von [mm]\Omega[/mm] transformiere:
[mm]\int_{\Omega}f(\mathbf{r})g(\mathbf{r}[\varepsilon])\det(1+\varepsilon)d^{3}r = \summe_{G,G'}\hat{f}(\mathbf{G})\frac{1}{\det(1+\varepsilon)}\hat{g}((\mathbf{1}-\boldsymbol{\varepsilon})\mathbf{G}')\int_{\Omega}e^{i(\mathbf{G}+\mathbf{G'}).\mathbf{r}}\det(1+\varepsilon)d^{3}r=\Omega\summe_{G}\hat{f}(\mathbf{G})\hat{g}(-\mathbf{G}[\varepsilon])[/mm]
Die rechte Seite ergibt jedoch (transformiert in reziproke Vektoren von [mm]\Omega[\varepsilon][/mm]:
[mm]\int_{\Omega[\varepsilon]}f((\mathbf{1}-\boldsymbol{\varepsilon})\mathbf{r}_{\varepsilon})g(\mathbf{r}_{\varepsilon})d^{3}r_{\varepsilon} =\summe_{G,G'}\frac{1}{\det(1-\varepsilon)}\hat{f}((\mathbf{1}+\boldsymbol{\varepsilon})\mathbf{G}[\varepsilon])\hat{g}(\mathbf{G}'[\varepsilon])\int_{\Omega[\varepsilon]}e^{i(\mathbf{G}[\varepsilon]+\mathbf{G}'[\varepsilon]).\mathbf{r}_{\varepsilon}}d^{3}r_{\varepsilon}[/mm]
[mm]=
\Omega[\varepsilon]\det(1+\varepsilon)\sum_{G}\hat{f}(\mathbf{G})
\hat{g}(-\mathbf{G}[\varepsilon]) = \Omega\det(1+\varepsilon)^{2}\sum_{G}\hat{f}(\mathbf{G})\hat{g}(-\mathbf{G}[\varepsilon])[/mm]
Die beiden Seiten unterscheiden sich also um einen Faktor [mm] $\det(1+\varepsion)^{2}$, [/mm] obwohl sie gleich sein sollten.
Sieht jemand einen (den) Fehler? Ich habe schon länger drüber nachgedacht, aber ich weiss nicht, was falsch ist. Vermutlich etwas ganz einfaches, was ich nur nicht mehr sehe.
Viele Grüße,
AT-Colt
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Hallo AT-Colt,
du schreibst:
" ...$ [mm] \Omega[\varepsilon] [/mm] $ der Spat, der aus $ [mm] \Omega [/mm] $ entsteht, wenn man jedes Element von $ [mm] \Omega [/mm] $ mit der Matrix $ [mm] (\mathbf{1}+\boldsymbol{\varepsilon}) [/mm] $ multipliziert. Ich nehme $ [mm] \varepsilon [/mm] $ als klein und symmetrisch an, so dass die Inverse als $ [mm] (\mathbf{1}-\boldsymbol{\varepsilon}) [/mm] $ geschrieben werden kann."
Diese Annahme kann natürlich niemals exakt erfüllt sein !
Ohne deine Rechnungen im Detail durchgesehen zu haben,
würde ich mal sagen:
Diese Gleichung kann ohnehin nur dann ungefähr erfüllt
sein, wenn [mm] 1+\varepsilon [/mm] sehr nahe bei der Einheitsmatrix
und damit auch [mm] det(1+\varepsilon)\approx1 [/mm] ist. Also sollte
ein Faktor von dieser Form oder allenfalls auch dessen
Quadrat numerisch praktisch mit 1 gleichgesetzt werden
können ...
LG Al-Chw.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 07:30 Mi 24.08.2011 | | Autor: | AT-Colt |
Hi,
danke schonmal fürs Drüberschauen. Allerdings kann man an jeder Stelle [mm] $(\mathbf{1}-\boldsymbol{\varepsilon})$ [/mm] auch durch das tatsächliche Inverse [mm] $(\mathbf{1}+\boldsymbol{\varepsilon})^{-1}$ [/mm] ersetzen:
Es ist [mm] $\mathbf{G}.\mathbf{a}$ [/mm] ein vielfaches von [mm] $2\pi$, [/mm] also gilt das auch für [mm] $\mathbf{G}[\varepsilon].\mathbf{a}[\varepsilon] [/mm] = [mm] (\mathbf{1}+\boldsymbol{\varepsilon})^{-1}\mathbf{G}.(\mathbf{1}+\boldsymbol{\varepsilon})\mathbf{a} [/mm] = [mm] \mathbf{G}.\mathbf{a}$.
[/mm]
Ausserdem ist die Determinante der Inversen einer Matrix das Inverse der Determinante dieser Matrix.
Die Frage bleibt also bestehen.
Viele Grüße,
AT-Colt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:45 Mi 24.08.2011 | | Autor: | AT-Colt |
Hallo Leute,
die Formel [mm]\widehat{f(\mathbf{A}\cdot)}(\mathbf{G}) = \frac{1}{\det(A)}\hat{f}(\mathbf{A}^{-1,T}\mathbf{G})[/mm] gilt wohl nur im Falle eines unbeschraenkten Gebietes.
Die Fouriertransformierte auf [mm]\Omega[/mm] ist aber mit dem Volumen gewichtet:
[mm]\hat{f}(\mathbf{G}) = \frac{1}{\Omega}\int_{\Omega}f(\mathbf{s})e^{-i\mathbf{G}.\mathbf{s}}d^{3}s[/mm]
Dieses Gewicht "schluckt" das Inverse der Determinante beim Uebergang zu [mm]\Omega[\varepsilon}][/mm]:
[mm]\widehat{g((\mathbf{1}+\boldsymbol{\varepsilon})\cdot)}(\mathbf{G}) =
\frac{1}{\Omega}\int_{\Omega}g((\mathbf{1}+\boldsymbol{\varepsilon})\mathbf{s})e^{-i\mathbf{G}.\mathbf{s}}d^{3}s =
\frac{1}{\Omega}\frac{1}{\det(1+\varepsilon)}
\int_{\Omega[\varepsilon]}g(\mathbf{s}_{\varepsilon})e^{-i\mathbf{G}.(\mathbf{1}-\boldsymbol{\varepsilon})\mathbf{s}_{\varepsilon}}d^{3}
s_{\varepsilon}[/mm]
[mm]= \frac{1}{\Omega[\varepsilon]}\int_{\Omega[\varepsilon]}g(\mathbf{s}_{\varepsilon})e^{-i(\mathbf{1}-\boldsymbol{\varepsilon})\mathbf{G}.\mathbf{s}_{\varepsilon}}d^{3}
s_{\varepsilon} = \hat{g}(\mathbf{G}[\varepsilon])[/mm]
Damit kommt im Falle von der Fouriertrafo in [mm] $\Omega$ [/mm] einmal [mm] $\det(1+\varepsilon)$ [/mm] hinzu, waehrend es einmal im Falle von [mm] $\Omega[\varepsilon]$ [/mm] wegfaellt.
Wenn mir jemand bestaetigen kann, dass ich nicht noch einen Fehler gemacht habe, halte ich die Sache fuer abgeschlossen.
Viele Gruesse,
AT-Colt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:29 Mo 29.08.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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