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Hallo
Es soll eine Ableitung und eine Stammfunktion gebildet werden.
Als Beispiel habe ich [mm] f(x)=3^{x}
[/mm]
Dies lässt sich bekanntlich ja in [mm] e^{x*ln(3)} [/mm] umschreiben.
Die erste Ableitung ist [mm] ln(3)*e^{x*ln(3)}
[/mm]
Hierbei verstehe ich nicht ganz wie das abgeleitet wird:
Es wird ja die Kettenregel benutzt, also [mm] e^{x*ln(3)} [/mm] * der inneren Ableitung, also der Ableitung von x*ln(3)
Nur wieso davon die Ableitung ln(3) ist, verstehe ich nicht, es ist doch ein Produkt.
Das gleiche bei der Stammfunktion F(X)= [mm] \bruch{1}{ln(3)}*3^{x}
[/mm]
Dort wird ja auch nur das ln(x) faktorisiert ?
Und wenn ich das dann verstanden habe, möchte ich noch gerne wissen, wie es sich bei Funktionen verhält, bei denen der Exponent nicht nur x ist.
f(x)= [mm] 2^{x-2}
[/mm]
sowie
f(x)= [mm] 2^{3x}
[/mm]
Wie verhält sich die Ableitung/Stammfunktion dann bei diesen Exponenten ?
Danke euch
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:03 Di 16.03.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Die erste Ableitung ist [mm]ln(3)*e^{x*ln(3)}[/mm]
> Hierbei verstehe ich nicht ganz wie das abgeleitet wird:
> Es wird ja die Kettenregel benutzt, also [mm]e^{x*ln(3)}[/mm] * der
> inneren Ableitung, also der Ableitung von x*ln(3)
> Nur wieso davon die Ableitung ln(3) ist, verstehe ich
> nicht, es ist doch ein Produkt.
[mm] $x*\ln(3)$ [/mm] ist ein Produkt von x mit einer Konstanten, denn in [mm] $\ln(3)$ [/mm] ist weit und breit kein x zu sehen. =)
Wenn wir mal pro forma die Produktregel anwenden:
$g(x):=x,\ [mm] \Rightarrow\ [/mm] g'(x)=1$
[mm] $h(x):=\ln(3),\ \Rightarrow\ [/mm] h'(x)=0$
[mm] $(x*\ln(3))'=(g(x)*h(x))'= g'(x)*h(x)+g(x)*h'(x)=1*\ln(3) [/mm] + x*0 = [mm] \ln(3)$
[/mm]
> Das gleiche bei der Stammfunktion F(X)=
> [mm]\bruch{1}{ln(3)}*3^{x}[/mm]
[mm] $\frac1{\ln(3)}$ [/mm] ist genauso ein konstanter Vorfaktor, der sich mit dem [mm] $\ln(3)$ [/mm] aus der Ableitung von [mm] $3^x$ [/mm] wegkürzt.
>
> Dort wird ja auch nur das ln(x) faktorisiert ?
?
>
> Und wenn ich das dann verstanden habe, möchte ich noch
> gerne wissen, wie es sich bei Funktionen verhält, bei
> denen der Exponent nicht nur x ist.
>
> f(x)= [mm]2^{x-2}[/mm]
völlig analog:
[mm] $f(x)=2^{x-2}=\left(e^{\ln(2)}\right)^{x-2}= e^{\ln(2)(x-2)}$
[/mm]
Also mit Kettenregel:
[mm] $g(x):=\ln(2)(x-2)\quad\Rightarrow\ g'(x)=\ln(2)$
[/mm]
$f(x) = [mm] e^{g(x)}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow\ f'(x)=e^{g(x)}g'(x)=2^{x-2}\ln(2)$
[/mm]
Dementsprechend ist
[mm] $\frac1{\ln(2)}2^{x-2}$
[/mm]
eine Stammfunktion
ciao
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:12 Di 16.03.2010 | | Autor: | Stratoward |
danke für die Hilfe, hat es mir sehr gut veranschaulicht ;))
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