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| Aufgabe | Zeichne den Graph zu der Funktion
[mm] f(x_{1},x_{2})= 4-4x_{1}-2x_{2} [/mm] |
Hallo zusammen,
ich habe dazu die folgende Lösung:
Es handelt sich dabei um eine Ebene durch die Punkte
[mm] (0,0,4)^T, (0,2,0)^T [/mm] und [mm] (1,0,0)^T. [/mm]
Sie steht senkrecht auf dem Vektor
[mm] (a_{1},a_{2},-1)^T= (-4,-2,-1)^T
[/mm]
Kann mir bitte jemand erklären, wie ich die Punkte der Ebene erhalte und wie man auf den Vektor [mm] (a_{1},a_{2},-1)^T [/mm] kommt?
Besten Dank
Michael
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Michael/Anfaenger1, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Das ist nicht schwer.
> Zeichne den Graph zu der Funktion
>
> [mm]f(x_{1},x_{2})= 4-4x_{1}-2x_{2}[/mm]
> Hallo zusammen,
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> ich habe dazu die folgende Lösung:
>
> Es handelt sich dabei um eine Ebene durch die Punkte
> [mm](0,0,4)^T, (0,2,0)^T[/mm] und [mm](1,0,0)^T.[/mm]
> Sie steht senkrecht auf dem Vektor
> [mm](a_{1},a_{2},-1)^T= (-4,-2,-1)^T[/mm]
>
> Kann mir bitte jemand erklären, wie ich die Punkte der
> Ebene erhalte und wie man auf den Vektor [mm](a_{1},a_{2},-1)^T[/mm]
> kommt?
Hier ist als dritte Koordinate einfach [mm] x_3 [/mm] eingeführt und gleich dem Funktionswert gesetzt worden: [mm] x_3=f(x_1,x_2)=4-4x_1-2x_2.
[/mm]
Eine solche lineare Gleichung muss eine Ebene sein, nichts anderes ist möglich. Dann sind die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen bestimmt worden.
Also z.B. der Schnitt mit der [mm] $x_2$-Achse: [/mm] da müssen ja [mm] x_1=0 [/mm] und [mm] x_3=0 [/mm] sein. Wenn man das in die Gleichung einsetzt, hat man [mm] 0=4-4*0-2x_2, [/mm] also [mm] x_2=2 [/mm] und damit den Schnittpunkt [mm] (0,2,0)^T.
[/mm]
Einen Normalenvektor kann man einfach ablesen, wenn alle Koordinatenterme auf der gleichen Seite stehen. Die Ebenengleichung kann man ja auch so schreiben: [mm] 0=4-4x_1-2x_2-(1)x_3
[/mm]
Ein Normalenvektor besteht nun einfach aus den Koeffizienten vor den Koordinaten: [mm] (-4,-2,-1)^T
[/mm]
Erinnerst Du Dich an die Hessesche Normal(en)form? Da wird der Vektor zwar noch normiert, also auf die "Länge" (den Betrag) 1 gebracht, aber ansonsten funktioniert das genauso.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:51 Di 15.01.2013 | | Autor: | Anfaenger1 |
Hi reverend,
jetzt kann ich das absolut nachvollziehen, vielen Dank!
An die Hessesche Normal(en)form kann ich mich nicht leider nicht erinnern, hoffe es liegt darin, dass ich noch nie etwas mit ihr zu tun gehabt habe.
Habe aber eben gesehen, dass sie demnächst in meinem Lehrbuch thematisiert wird.
Beste Grüße
Michael
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:38 Di 15.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zeichne den Graph zu der Funktion
>
> [mm]f(x_{1},x_{2})= 4-4x_{1}-2x_{2}[/mm]
> Hallo zusammen,
>
> ich habe dazu die folgende Lösung:
>
> Es handelt sich dabei um eine Ebene durch die Punkte
> [mm](0,0,4)^T, (0,2,0)^T[/mm] und [mm](1,0,0)^T.[/mm]
> Sie steht senkrecht auf dem Vektor
> [mm](a_{1},a_{2},-1)^T= (-4,-2,-1)^T[/mm]
>
> Kann mir bitte jemand erklären, wie ich die Punkte der
> Ebene erhalte und wie man auf den Vektor [mm](a_{1},a_{2},-1)^T[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> kommt?
mal eine Alternative (vor allem in Erinnerung an den Mathematik-Schulunterricht):
Der Graph der Funktion ist
$$\left\{\vektor{x_1\\x_2\\f(x_1,x_2)} \in \IR^3:\;\; x_1,x_2 \in \IR}\right\} \subseteq \IR^3$$
(strenggenommen fassen wir hier ein Element $\vektor{\vektor{x_1\\x_2}\\f(x_1,x_2)}$ als ein Element $\vektor{x_1\\x_2\\f(x_1,x_2)} \in\IR^3$ auf).
Damit gilt offenbar per Definitionem von $f\,,$ dass der Graph gegeben ist durch
$$\left\{\vektor{r\\s\\4-4r-2s}:\;\;r,s \in \IR\right\}=\left\{\vektor{0\\0\\4}+r*\vektor{1\\0\\-4}+s*\vektor{0\\1\\-2}:\;\;r,s \in \IR\right\}\,.$$
(Das ist eine Ebene/ein affiner Unterraum des $\IR^3\,,$ insbesondere beachte
man, dass "die Richtungsvektoren" $\vektor{1\\0\\-4}$ und $\vektor{0\\1\\-2}$ linear unabhängig
sind - das kann man schnell beweisen, wenn man mag! Und $\vektor{0\\0\\4}$ ist ein sogenannter Stützvektor.
Beachte aber, dass es bei einer Ebene $\subseteq \IR^3$ es stets unendlich
viele "Richtungsvektoren-Paare" und auch unendlich viele mögliche Stützvektoren gibt. D.h. es
gibt keine eindeutig bestimmte Parameterdarstellung einer Ebene.)
Die Berechnung der sogenannten Durchstoßpunkte der Koordinatenachsen mit
dieser Ebene - wie in der Musterlösung erwähnt und von reverend erklärt -
kann man machen; man kann es sich aber auch sparen. Oben erkennt man
direkt, dass der Graph der genannten Funktion eine Ebene ist, weil wir den
Graphen in ![[]](/images/popup.gif) eine Paramaterdarstellung einer Ebene (klick!)
übergeführt haben. (Wenn Du die Mengengleichheiten formal auch noch
beweisen willst, denke einfach dran, dass für Mengen [mm] $A,B\,$ [/mm] gilt, dass
$A=B [mm] \iff [/mm] (A [mm] \subseteq B\;\; \text{ und } \;\;B \subseteq A)\,.$)
[/mm]
Nebenbei: Ein Punkt [mm] $(p_1,p_2,p_3)^T \in \IR^3$ [/mm] gehört doch genau dann zum Graphen
von [mm] $f\,,$ [/mm] wenn [mm] $p_3=4-4p_1-2p_2=f(p_1,p_2)$ [/mm] gilt. D.h., die Behauptung, dass [mm] $(0,0,\red{4})^T$ [/mm] zum
Graphen von [mm] $f\,$ [/mm] gehört, ist klar wegen [mm] $\red{4}=f(0,0)=4-4*0-2*0\,.$
[/mm]
Ebenso ist klar, dass [mm] $(0,2,\red{0})^T$ [/mm] zum Graphen von [mm] $f\,$ [/mm] gehört, weil
doch [mm] $f(0,2)=4-4*0-2*2=\red{0}\,.$ [/mm] Und dann ist auch klar, dass [mm] $(1,0,\red{0})^T$ [/mm] zum
Graphen von [mm] $f\,$ [/mm] gehört, denn es gilt ja auch [mm] $f(1,0)=4-4*1-2*0=\red{0}\,.$ [/mm]
D.h., solche Behauptungen kann man auch einfach durch Nachrechen
kontrollieren!
Übrigens kannst Du mal das Kreuzprodukt der obenstehenden Richtungsvektoren
berechnen - da sollte dann auch ein Vektor rauskommen, der senkrecht auf
die beschriebene Ebene steht. Erinnerst Du Dich an sowas?
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel,
vielen Dank für die umfangreiche Antwort!
Der Kreuzprodukt enthält die Koeffizienten des Normalenvektors:
[mm] \vektor{4 \\ -2 \\ -1}
[/mm]
Grüße
Michael
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:07 Di 15.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Michael,
> Hallo Marcel,
>
> vielen Dank für die umfangreiche Antwort!
>
> Der Kreuzprodukt enthält die Koeffizienten des
> Normalenvektors:
>
> [mm]\vektor{4 \\ -2 \\ -1}[/mm]
dann stimmt irgendwo etwas nicht: Das Kreuzprodukt sollte ein skalares
Vielfaches EINES Normalenvektors sein - anders gesagt (Normalenvektoren
stehen "nur" senkrecht auf der Ebene und müssen nicht normiert sein):
Das Kreuzprodukt sollte auch ein Normalenvektor der Ebene sein, und
wenn diese Aussage hier
> Sie steht senkrecht auf dem Vektor $ [mm] (a_{1},a_{2},-1)^T= (-4,-2,-1)^T [/mm] $
stimmt, wenn müßte das Kreuzprodukt [mm] $=\lambda*(-4,-2,-1)^T$ [/mm] mit einem
(konkret angebbaren) [mm] $\lambda \in \IR \red{\,\setminus \{0\}}\;$ [/mm] ergeben. Ich rechne es mal nach:
[mm] $$\vektor{1\\0\\-4} \times \vektor{0\\1\\-2}=\vektor{0*(-2)-(-4)*1\\-4*0-1*(-2) \\1*1-0*0}=\vektor{4\\2\\1}\,,$$
[/mm]
da kommt also [mm] $-1*(-4,-2,-1)^T$ [/mm] raus.
Wenn Du [mm] $\vektor{0\\1\\-2} \times \vektor{1\\0\\-4}$ [/mm] berechnet hast, sollte folglich
[mm] $$-(4,2,1)^T=(-4,-2,-1)^T$$
[/mm]
rauskommen (man kann leicht nachrechnen, dass [mm] $\vec{a} \times \vec{b}=\;\red{-}\;(\vec{b} \times \vec{a})$). [/mm] Du hast Dich also
verrechnet!
Gruß,
Marcel
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