Funktionen linear unabhängig < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:56 Di 17.11.2009 | | Autor: | ttgirltt |
| Aufgabe | Seien
[mm] f_{1}(x)=1
[/mm]
[mm] f_{2}((x)=x^{2}
[/mm]
[mm] f_{3}((x)=e^{x}
[/mm]
Beweisen sie das die FUnktionen linear unabhängig sind. |
Hallo,
Nun irritiert mich aber die 1. Funktion ich habe ja jetzt:
[mm] a*1+b*x^{2}+c*e^{x}=0
[/mm]
so und das kann man ja nach a umstellen.
Und somit würde ja für dieses a die Gleichung 0 werden für alle beliebigen x für [mm] -a=b*x^{2}+c*e^{x}
[/mm]
Wo liegt der Fehler?!
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Hallo ttgirltt,
> [mm]a*1+b*x^{2}+c*e^{x}=0[/mm]
> so und das kann man ja nach a umstellen.
Das kann man doch immer, falls die Funktion nicht gerade f(x)=0 heißt.
> Und somit würde ja für dieses a die Gleichung 0 werden
> für alle beliebigen x für [mm]-a=b*x^{2}+c*e^{x}[/mm]
> Wo liegt der Fehler?!
Im Denken. 
Aus welcher Definitionsmenge stammen denn a,b,c ?
lg
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:16 Di 17.11.2009 | | Autor: | ttgirltt |
Mh naja a,b,c /in /IR aber ich sehe trotzdem nicht warum dann die Funktionen linear unabhängig sein müssen denn mit [mm] f_{1} [/mm] kann ich die beiden anderen doch darstellen^^
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> Mh naja $a,b,c /in /IR$ aber ich sehe trotzdem nicht warum
> dann die Funktionen linear unabhängig sein müssen denn
> mit [mm]f_{1}[/mm] kann ich die beiden anderen doch darstellen^^
Echt? Na mach doch mal unter der Voraussetzung, dass $a,b,c [mm] \in \IR$ [/mm] sind
MFG,
Gono.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:17 Di 17.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Du hast also:
$ [mm] a\cdot{}1+b\cdot{}x^{2}+c\cdot{}e^{x}=0 [/mm] $ für jedes x [mm] \in \IR
[/mm]
Für x=0 folgt: a= 0
Also: (*) $ [mm] b\cdot{}x^{2}+c\cdot{}e^{x}=0 [/mm] $ für jedes x [mm] \in \IR
[/mm]
Nun besorge Dir geeignete [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] so, dass Du aus (*) auch noch
b=c=0
folgern kannst.
Edit. obiges muß korrigiert werden: mit x= 0 folgt natürlich a+c= 0
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:32 Di 17.11.2009 | | Autor: | DesterX |
Hi Fred,
steinige mich gegebenfalls, aber ich kann dir hier nicht ganz folgen:
>
> [mm]a\cdot{}1+b\cdot{}x^{2}+c\cdot{}e^{x}=0[/mm] für jedes x [mm]\in \IR[/mm]
>
> Für x=0 folgt: a= 0
>
Steht dann dort nicht $a+c=0$? Warum folgt daraus $a=0$?
Entschuldige, sollte ich da etwas übersehen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:34 Di 17.11.2009 | | Autor: | Gonozal_IX |
Nein, du hast natürlich recht.
Dort steht $a+c=0$
MfG,
Gono
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:37 Di 17.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hi Fred,
> steinige mich gegebenfalls,
Das werd ich nicht tun !
> aber ich kann dir hier nicht
> ganz folgen:
>
>
> >
> > [mm]a\cdot{}1+b\cdot{}x^{2}+c\cdot{}e^{x}=0[/mm] für jedes x [mm]\in \IR[/mm]
>
> >
> > Für x=0 folgt: a= 0
> >
>
> Steht dann dort nicht [mm]a+c=0[/mm]?
Du hast recht, jetzt darfst Du mich steinigen !!
FRED
> Warum folgt daraus [mm]a=0[/mm]?
>
> Entschuldige, sollte ich da etwas übersehen.
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:52 Di 17.11.2009 | | Autor: | DesterX |
>
> Du hast recht, jetzt darfst Du mich steinigen !!
>
Dann sehe ich auch nochmal davon ab.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:46 Di 17.11.2009 | | Autor: | ttgirltt |
Also keine Ahnung vielleicht stehe ich auch auf dem Schlauch... das mit 0 einsetzen hatte ich mir auch schon überlegt aber das dann a+c=0 da steht bedeutet doch wieder ne Abhängigkeit...
und das [mm] b*x^{2}+c*e^{x}=0 [/mm] wenn man das getrennt betrachtet ohne die 1. Funktion sehe ich ja die unabhängigkeit weil für x=0 hier b beliebig ist und somit c=0 sein muss.
Also kann jemand mal versuchen mir zu erklären warum das linear unabhängig ist^^
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:54 Di 17.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Noch eine Möglichkeit, die Dir vielleicht besser gefällt:
Wir haben: (*) [mm] $a+bx^2+ce^x= [/mm] 0$ für jedes x in [mm] \IR
[/mm]
Sei $f(x) := [mm] a+bx^2+ce^x$
[/mm]
Aus (*) folgt: f(x) = 0 für jedes x in [mm] \IR.
[/mm]
Dann ist auch $f'''(x) = 0$ für jedes x [mm] \in \IR.
[/mm]
Wegen $f'''(x) = [mm] ce^x$ [/mm] folgt:
c= 0.
Somit ist $f(x) = [mm] a+bx^2$
[/mm]
Wegen (*) und $a=f(0)$ erhält man a= 0.
Daher: $f(x) = [mm] bx^2$. [/mm] Dann ist 0 = f(1)=b
FRED
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