Funktionen gleich auf [0,1) < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:14 Mi 26.10.2011 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
seien f,g stetige Funktionen , die auf [0,1) gleich sind und beide im Punkt [mm] x_{0}:=1 [/mm] stetig sind.
Dann sind sie auf [0,1] gleich. (Woher weiß man das? Gibt es
einen konkreten Satz dafür?Hat das damit zu tun , dass man eine Funktion eindeutig stetig fortsetzen kann (gibt es sowas ?) )
(die beiden Funktionen können einen Definitionsbereich haben, der nicht unbedingt gleich dem Intervall [0,1] sein soll)
Als Beispiel ( wegen dem stelle ich diese Frage):
ln(x+1) = [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}}{n}*x^{n} [/mm] für x [mm] \in [/mm] [0,1). Wegen dem Abelschen Grenzwertsatz ist die Potenzreihe in 1 stetig.
ln(x+1) ist auch in 1 stetig.
In Forster steht, dass beide Funktionen auch in [mm] \x_{0}=1 [/mm] gleich sind.
Kann man diese Aussage folgendermassen zeigen:
sei g(x):=ln(x+1), h(x):= [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}}{n}*x^{n}
[/mm]
zu zeigen: g(1)=h(1)
Da beide Funktionen in [mm] x_{0} [/mm] stetig sind, gilt
[mm] \limes_{x\rightarrow\1}g(x)=g(1) [/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\1}h(x)=h(1)
[/mm]
also es ist zu zeigen, dass
[mm] \limes_{x\rightarrow\1}g(x)=\limes_{x\1}h(x) [/mm] gilt.
Hier würde ich das so argumentieren:
Da [mm] x\not= [/mm] 1 und g(x)=h(x) für [mm] x\in [/mm] [0,1) und damit die Behauptung ?
Gruss
Igor
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> Hallo,
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> seien f,g stetige Funktionen , die auf [0,1) gleich sind
> und beide im Punkt [mm]x_{0}:=1[/mm] stetig sind.
> Dann sind sie auf [0,1] gleich. (Woher weiß man das? Gibt
> es
> einen konkreten Satz dafür?Hat das damit zu tun , dass
> man eine Funktion eindeutig stetig fortsetzen kann (gibt es
> sowas ?) )
siehe unten, da du aufgrund der Stetigkeit f(1) als Grenzwert erhältst.
Das gilt jedoch nur, wenn vorausgesetzt wird, dass f in 1 definiert und stetig ist, ansonsten muss der Grenzwert nicht existieren (z.B. f(x)=1/(1-x))
> (die beiden Funktionen können einen Definitionsbereich
> haben, der nicht unbedingt gleich dem Intervall [0,1] sein
> soll)
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> Als Beispiel ( wegen dem stelle ich diese Frage):
> ln(x+1) = [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}}{n}*x^{n}[/mm]
> für x [mm]\in[/mm] [0,1). Wegen dem Abelschen Grenzwertsatz ist die
> Potenzreihe in 1 stetig.
> ln(x+1) ist auch in 1 stetig.
> In Forster steht, dass beide Funktionen auch in [mm]\x_{0}=1[/mm]
> gleich sind.
>
> Kann man diese Aussage folgendermassen zeigen:
>
> sei g(x):=ln(x+1), h(x):=
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}}{n}*x^{n}[/mm]
> zu zeigen: g(1)=h(1)
>
> Da beide Funktionen in [mm]x_{0}[/mm] stetig sind, gilt
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\1}g(x)=g(1)[/mm]
> [mm]\limes_{x\rightarrow\1}h(x)=h(1)[/mm]
> also es ist zu zeigen, dass
> [mm]\limes_{x\rightarrow\1}g(x)=\limes_{x\1}h(x)[/mm] gilt.
> Hier würde ich das so argumentieren:
> Da [mm]x\not=[/mm] 1 und g(x)=h(x) für [mm]x\in[/mm] [0,1) und damit die
> Behauptung ?
Die Argumentation ist vollkommen korrekt, da gibt es nix hinzuzufügen.
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> Gruss
> Igor
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