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Hallo.
Ich habe einen Behälter gegeben: Er besteht aus einem Zylinder(r=4m;h=3m) und untem am Zylinder hängt ein Kegel daran(mit dem Spitz nach unten)---> Wie eine Abfüllanlage!! Der Öffnungswinkel des Kegels beträgt [mm] 2*\alpha [/mm] !!!
ges: Wasserstand h in abhängigkeit von t(Zeit) und [mm] \alpha [/mm]
geg: In den Behälter fließt das Wasser mit 100l/s
Ich habe folgendes berechnet:
1.) Zylinder: V(r,h)= [mm] r²h*\pi/3 [/mm]
[mm] \tan(\alpha)=r/h [/mm] => durch einsetzen : V(h)= [mm] h^3*\pi*\tan²(\alpha)/3 [/mm]
=> h(t)= [mm] \wurzel[3]{300*t/\pi*\tan²(\alpha)} [/mm]
Diese Formel ist nur für den Kegel gültig,aber nicht für den Zylinder,oder??
Wie bekommen ich h(t) beim Zylinder bzw. muss ich angeben nach wievielen sekunden der kegel voll ist, da die Formel nur bis zu diesem Zeitpunkt gültig ist!!
Ich glaube ich "sitze nur ein bisschen auf der Leitung"-- hoffe ihr habt einen Tipp für mich!!
Grüße Daniel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:18 So 29.08.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Daniel.
Was meinst du mit Öffnungswinkel?
Gruß,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:58 So 29.08.2004 | | Autor: | nitro1185 |
Mit Offnüngswinkel meine ich den Winkel, den die beiden Seiten, die die Spitze des kegels bilden miteinander einschließen!!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:40 So 29.08.2004 | | Autor: | diejudith |
hallo,
im grunde genommen liegst du nicht verkehrt, wenn du aber davon ausgehst, dass das wasser auch in den unteren teil, den kegel fliessen kann, musst du natürlich das volumen des kegels auch berechnen. das fehlt dir in deiner rechnung.
stell es dir vielleicht bildlich vor, was passier, wenn du wasser hineingiesst, bevor das wasser an den zylinder kommt, muss der kegel ja erst mal voll werden.
versuch dich selber noch mal damit, und rühr dich ruhig noch mal!
gruss
judith
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:59 So 29.08.2004 | | Autor: | nitro1185 |
Wie soll ich das Volumen berechnen,wenn ich keine Höhe und keinen Winkel habe?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:18 So 29.08.2004 | | Autor: | diejudith |
du hast aber doch eine gesamthöhe h, von der du die höhe des zylinders abziehen kannst.
in dem fall ist die höhe des kegels die gesamthöhe h-3m.
ausserdem würde ich empfehlen, die meterangaben schon vor dem rechnen in dm umzurechnen, da ein liter ein dm hoch 3 ist.
(deine antwort wird ja bearbeitet, es wäre nicht nett wenn ich hier auch noch meinen ansatz schreibe, wollte dir in der zwischenzeit einfach tipps zum weiterprobieren geben, du sollst ja auch in der zwischenzeit was zu tun haben  )
gruss
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:15 So 29.08.2004 | | Autor: | nitro1185 |
Hallo!
Habe inzwischen folgendes berechnet!!
r vom Kegel=2 => Vk=4*pi*h/3
h(v)= [mm] \wurzel[3]{3V/pi*tan(\alpha)} [/mm]
h= [mm] \wurzel[3]{412*pi*h/3*pi*tan²(\alpha)} [/mm]
=> h= [mm] 2/tan(\alpha) [/mm].. Höhe des kegels (oder?)
[mm] V(2/tan(\apha)=8/3*pi*tan(\alpha) [/mm]
Okay, wenn ich mich nicht verrechnet habe müsste das das Volumen des Kegles sein!!!
=> [mm] V(0)=8/3*pi*tan(\alpha)
[/mm]
V(1)= [mm] 8/3*pi*tan(\alpha)+100*1
[/mm]
V(2)= [mm] 8/3*pi*tan(\alpha)+100*2 [/mm] ....
V(t)= [mm] 8/3*pi*tan(\alpha)+100*t
[/mm]
Jetzt habe ich das Gesamtvolumen in abhängigkeit der Zeit und [mm] \alpha!!!
[/mm]
Ich brauche noch h(t) des Zylinders!!!! V(z)= 12*pi
???????
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:46 So 29.08.2004 | | Autor: | diejudith |
wie kommst du darauf, dass das r des kegels 2 ist, du hast doch r mit 4 meter angegeben.
der radius vom zylinder und vom kegel sind ja der gleiche, also ist der r des kegels auch 4 m.
also 40 dezimeter.
mir scheinen deine rechnungen etwas wirr, sorry aber du vergisst die einheiten, du vergisst, dass die angabe in meter und liter nun mal dezimeter sind.
jetzt gehn wirs bitte nochmal durch.
1. bist du sicher, dass du alle angaben hier aufgeschrieben hast und zwar auch richtig nach zylinder und kegel sortiert?
2. rechne erst mal alle angaben in dezimeter um
3. habe ich das richtig verstanden, dass sich, wenn ich auf die figur schauen würde, oben der zylinder befindet und unten dran der kegel und die flüssigkeit in den kegel fliessen kann?
und dann können wir ja vielleicht gemeinsam auf eine lösung kommen, im moment sieht mir das zu wirr aus.
gruss
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mir kommt das ganze etwas komisch vor, und ganz ohne gewähr versuch ich hier mal eine lösung, auf dass es dir weiterhilft
das volumen zum zeitpunkt t=1 ist V(1)= 100 [mm] dm^3
[/mm]
das Volumen des Kegels ist [mm] 1/3*r^2*pi*h [/mm] vom kegel
das Volumen des Zylinders ist [mm] r^2*pi*h [/mm] vom zylinder
h' vom zylinder und h'' vom kegel ergeben das h der gesamtfigur
das Vol des Keg und das Vol des Zyl ergeben das Gesamtvol.
[mm] V=r^2*pi*h' [/mm] + [mm] 1/3*r^2*pi*h'' [/mm] (ausklammern)
[mm] V=1/3*r^2*pi*(3h'+h'') [/mm] (h'und h'' = h)
V= [mm] 1/3*r^2*pi*(h+2h')
[/mm]
zum zeitpunkt t=0 ist das 100 [mm] dm^3
[/mm]
100 [mm] dm^3 =1/3*r^2*pi*(h+2h') [/mm] (nach h auflösen)
moment gleich gehts weiter
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100 [mm] dm^3/(1/3*r^2*pi)=h [/mm] + 2h'
[mm] 100dm^3/(1/3*r^2*pi) [/mm] - 2 h' =h
(dann einsetzen für r=40 dm
für h'=30 dm, wenn du schon magst, sonst lasst du sie allgemein)
wohlgemerkt das ist die höhe zum zeitpunkt t=1 und somit evtl.kleiner als die höhe des kegels, was zu einem neg. h wert führen kann
du kannst allerdings auch die 100 [mm] dm^3 [/mm] noch weglassen, das war ja nur zur veranschaulichung und hast halt jetzt das allgemeine Volumen v stehen statt der 100 [mm] dm^3
[/mm]
jetzt gehts weiter
V(t) = t*100 [mm] dm^3
[/mm]
jetzt setzt du statt der 100 [mm] dm^3 [/mm] die oben umgeformte formel ein und löst nach h auf.
oder du setzt für das allgemeine Voben 100 [mm] dm^3 [/mm] *t ein
(sorry war jetzt etwas verwirrend)
du erhälts auf jeden fall
[mm] 100dm^3*t/(1/3*r^2*pi) [/mm] -2h' = h(t)
es ist wahrscheinlich wirklich das beste, dass du in der oberen gleichung aus dem letzten antwortposting nich 100 [mm] dm^3 [/mm] einsetzt sondern Vgesamt hinschreibst.
so, das ist der einzige ansatz der mir dazu einfällt, der einzig einigermassen sinnvolle zumindestens.
das einzige, was noch sinn ergeben würde ist, dass als öffnungswinkel ein anderer winkel als 2 mal die spitze des kegels gemeint ist, dann könnte man nämlich wirklich die winkel berechnen, und somit auch die höhe exakt mit dem tangens.
das war aber aus der aufgabenstellung so für michnicht zu ersehen, würde aber am meisten sinn machen und meinen ansatz oben natürlich total zu nichte, aber dafür alles einfacher
sollte es so sein, melde dich einfach nochmal, da helf ich dir dann mit freude und erleichterung!!
gruss
judith
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:48 So 29.08.2004 | | Autor: | nitro1185 |
Hy Judith!!Ich glaub ich habs!Es ist nicht so schwer wie es aussieht!!
Ich habe die beiden Körper voneinander getrennt! das heißt, dass zuerst der Kegel befüllt wird => natürlich steigt das Wasser nicht linear d.h nicht gleichmäßig!!!
Radius und Höhe des Füllvolumens sind variable!!
ges: h(t)
V(r,h)= r²*pi*h/3 ....Füllvolumen, das sich mit der Zeit ändert
Der Winkel [mm] 2*\alpha [/mm] ist ebenfalls variable d.h beim befüllen ist eigentlich konstant, aber das Volumen des Kegels ändert sich mit dem Winkel!!!
=> [mm]tan(\alpha)[/mm]= r/h ....... r²= [mm]h²*tan²(\alpha)[/mm]
V(h)=[mm] h^3*pi*tan²(\alpha)/3[/mm]
=> V(t)= 100*t ...einsetzen => h(t)=[mm]\wurzel[3]{300*t/pi*tan²(\alpha)}[/mm]
aus h'(t) erhält man die Füllgeschwindigkeit!!!!!
Diese Rechnung ist nur für den Kegel gültig!
Zylinder:
V(R,h)=R²*pi*h ....Füllvolumen, wobei R immer konstant bleibt im gegensatz zum Kegel!!
=> V und h sind variable (oder?)
V=400*pi*h Maße in dm
=> h(V)= V/400*pi
=> h(t)= t/4*pi
h'(t)= 1/4*pi ...... das könnte stimmen, da die Füllgeschwindigkeit konstant bleibt!!!
v(zylinder)= 1/4*pi dm/s !!
Grüße Dani ... Vielem Dank für die Anregungen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:58 So 29.08.2004 | | Autor: | diejudith |
hallo dani,
sollte dir das irgendwann mal jemand korrigieren (schule?), der weiss, wie er die aufgabe gemeint hat, würde es mich echt interessieren, schreibst du mir dann bitte ??
(es bleibt noch offen, wie alpha zu berechnen ist, wenn ich das richtig verstanden habe)
ist das maturastoff, den du da machst, oder welchem jahr entspricht das - 7. klasse? hat auf jeden fall spass gemacht
lieber gruss
judith
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Hallo Daniel!
Die Funtion h(t) mußt du in Abschnitten angeben.
Das von mir ausgerechnete Egebnis ist (zur Kontrolle):
[mm]t \le 0 \Rightarrow h(t)=0[/mm]
[mm]0 < t \le \bruch{\pi r^{3}}{3q\tan \alpha} \Rightarrow h(t)=\wurzel[3]{\bruch{3qt}{\pi \tan^{2} \alpha}}[/mm]
[mm]\bruch{\pi r^{3}}{3q\tan \alpha} < t \le \bruch{\pi r^{2}}{q}\left(h+\bruch{r}{3\tan \alpha}\right) \Rightarrow h(t)= \bruch{qt}{\pi r^{2}}+\bruch{2r}{3\tan \alpha}[/mm]
[mm]t > \bruch{\pi r^{2}}{q}\left(h+\bruch{r}{3\tan \alpha}\right) \Rightarrow h(t)= h+\bruch{r}{\tan \alpha}[/mm]
wobei [mm]q=100 l/s, r= 40 dm, h=30 dm[/mm]
Zuerst füllt sich der Kegel, dann der Zylinder und dann bleibt die Höhe konstant, ich glaube, so ist das gemeint, sonst wäre die Höhe des Zylinders überflüssig.
Schöne Grüße,
Ladis
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