Funktionen Einheiten? < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:00 So 24.06.2012 | | Autor: | hilbert |
Hallo,
ich soll für eine Abbildung von [mm] \IN \longrightarrow \IC, [/mm] die keine Einheit ist, zeigen, dass wenn es eine Primzahl p gibt, sodass [mm] f(p)\neq [/mm] 0 gilt, f irreduzibel ist. Bzw dies weiter ausführen für f(m), mit m = [mm] p^r, [/mm] für eine Primzahl p und eine natürliche Zahl r.
Erstmal den ersten Teil.
Also gilt f(p) [mm] \neq [/mm] 0. Jetzt schau ich mir 2 andere Funktionen an, sodass f = g [mm] \* [/mm] h.
Dann ist 0 [mm] \neq [/mm] f(p) = [mm] \summe_{d|p}g(d)h(\bruch{p}{d}). [/mm] Zu zeigen ist jetzt, dass weder g noch h eine Einheit sein kann. Da wir hier über die Teiler von Primzahlen summieren lässt sich die Summe natürlich leichter schreiben, sodass ich auf folgendes komme:
0 [mm] \neq [/mm] f(p) = g(1)h(p)+g(p)h(1). Aber wie kann ich jetzt hieraus schließen, dass weder h noch g Einheiten sind?
Schonmal vielen Dank!
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(Frage) überfällig | | Datum: | 17:33 So 24.06.2012 | | Autor: | hilbert |
Okay, den Fall [mm] f(p)\neq [/mm] 0 habe ich, aber ich komme nicht weiter, wenn folgendes gilt:
f(n)=0 [mm] \gdw [/mm] n Primzahlpotenz => f irreduzibel.
Wie stelle ich das hier an?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Di 26.06.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:56 Mo 25.06.2012 | | Autor: | wieschoo |
Vielleicht liege ich komplett daneben. Also Vorsicht.
> Hallo,
> ich soll für eine Abbildung von [mm]\IN \longrightarrow \IC,[/mm]
> die keine Einheit ist, zeigen, dass wenn es eine Primzahl p
> gibt, sodass [mm]f(p)\neq[/mm] 0 gilt, f irreduzibel ist. Bzw dies
> weiter ausführen für f(m), mit m = [mm]p^r,[/mm] für eine
> Primzahl p und eine natürliche Zahl r.
>
> Erstmal den ersten Teil.
> Also gilt f(p) [mm]\neq[/mm] 0. Jetzt schau ich mir 2 andere
> Funktionen an, sodass f = g [mm]\*[/mm] h.
> Dann ist 0 [mm]\neq[/mm] f(p) = [mm]\summe_{d|p}g(d)h(\bruch{p}{d}).[/mm]
Ich bezweifle stark, dass die Gleichheit für alle betreffenden Abbildungen [mm]\IN\to\IC[/mm] gilt. Hat f noch eine andere Eigenschaft, die hier verschwiegen wird?
> Zu
> zeigen ist jetzt, dass weder g noch h eine Einheit sein
> kann. Da wir hier über die Teiler von Primzahlen summieren
> lässt sich die Summe natürlich leichter schreiben, sodass
> ich auf folgendes komme:
> 0 [mm]\neq[/mm] f(p) = g(1)h(p)+g(p)h(1). Aber wie kann ich jetzt
> hieraus schließen, dass weder h noch g Einheiten sind?
Ich glaube nicht, dass dies der richtige Ansatz ist. Selbst wenn man f faktorisiert in g*h so ist doch f(p)=g(p)h(p). Aber das lässt kaum Rückschlüsse auf g,h und f zu, da [mm]g(p),h(p)\in\IC[/mm] immer Einheiten sind.
Du brauchst etwas wie [mm] $g(X)*h(X)=k\neq [/mm] 0$ damit folgt aber durch normieren und dem euklidischen Algorithmus , dass g und h Einheiten sind, was wiederum zur Folge hat, dass f eine Einheit ist.
Wie definierst du Einheiten bei Funktionen? Heißt da invertierbar=bijektiv?
Was ist mit [mm]f(x):=(x-1)^2[/mm] Hier ist [mm]f(p)\neq 0\quad \forall p\in \mathbb{P}[/mm]. Und dennoch ist f nicht irreduzibel.
>
> Schonmal vielen Dank!
Gruß
wieschoo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:57 Mo 25.06.2012 | | Autor: | hilbert |
Also f soll keine Einheit sein, und zeigen soll ich, dass wenn f = g*h, dass dann g oder h eine Einheit ist. Wir haben gezeigt, dass f eine Einheit ist wenn f(1) [mm] \neq [/mm] 0 gilt.
Jetzt soll ich damit zeigen, wenn f(n)=0 [mm] \gdw [/mm] n Primzahlpotenz so folgt f irreduzibel.
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moin,
Du musst hier erstmal genau definieren in welchem Ring oder welcher Menge du dich bewegst.
Du sagst nur $f : [mm] \IN \to \IC$, [/mm] hier könnte man meinen du redest von allen komplexwertigen Folgen mit der klassischen Addition und Multiplikation.
Die Summe, die du für $f(p)$ geschrieben hast lässt aber vermuten, dass du eher mit zahlentheoretischen Funktionen arbeitest und dass * nicht das klassische Produkt von Funktionen sondern eine Faltung ist.
Deshalb verrate mal ganz genau was für eine Menge du hast, wie die Verknüpfungen auf der Menge definiert sind und was dein neutrales Element sein soll (Identität, Einsabbildung,...).
Und haben deine Funktionen noch mehr Eigenschaften?
Sind sie multiplikativ, schwach multiplikativ (d.h. Produkte lassen sich nur auseinanderziehen, wenn die Faktoren teilerfremd sind), etc.
lg
Schadow
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(Frage) überfällig | | Datum: | 19:33 Mo 25.06.2012 | | Autor: | hilbert |
Ja okay, das tut mir Leid. Ich hatte dunkel in Erinnerung, dass wir die Zahlentheoretischen Funktionen nur direkt von [mm] \IN [/mm] nach [mm] \IC [/mm] definiert haben.
Also es handelt sich hier um die Zahlentheoretischen Funktionen mit der Dirichlet Multiplikation.
Vielleicht wird es noch deutlicher wenn man meinen Lösungsversuch der ersten Aufgabe sieht:
Zu zeigen war: Sei f eine zahlentheoretische Funktion die keine Einheit ist. Wenn dann eine Primzahl p existiert, sodass [mm] f(p)\neq [/mm] 0 folgt, dass f irreduzibel ist.
Also weiß ich, dass [mm] g\*h(p) [/mm] = h(1)g(p)+h(p)g(1) [mm] \neq [/mm] 0.
Daraus folgt aber, dass entweder h(1) oder g(1) verschieden von 0 ist und damit folgt die Irreduzibilität.
Nun soll ich zeigen, dass f irreduzibel, falls f keine Einheit und f(n)=0 [mm] \gdw [/mm] n Primzahlpotenz
Hier komm ich aber nicht so recht weiter.
Habt ihr einen Tipp für mich?
Schonmal danke und sorry für die Laue ausdrucksweise meinerseits..
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Mi 27.06.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Di 26.06.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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