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Hallo,
ich habe drei Fragen zu Funktionen und vielleicht wird mir ja wieder erfolgreich geholfen. 
1) Wofür brauche ich genau die Differenzierbarkeit? Der Differenzierbarkeit einer Funktion in einem Punkt a ist i. Allg. die Stetigkeit der Funktion in diesem Punkt a vorrausgesetzt, oder? Aber was untersuche ich jetzt in diesem Punkt a mit der Differenzierbarkeit?
2)Die Berechnung der Grenzwerte von Funktionen ist i. Allg. der Berechnung der Grenzwerte von Folgen und Reihen gleich, oder sehe ich das falsch?
3) Warum ist |f| nicht beschränkt? Wie kann man das beweisen? Ich stehe da irgendwie auf dem Schlauch..
Danke für Antworten..
Gruss
Der Fruchtsaft
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:36 So 24.07.2005 | | Autor: | SEcki |
> 1) Wofür brauche ich genau die Differenzierbarkeit?
Falls eine funktion diff.bar ist, hat sie i.a. schönere Eigenschaften als eine Funktion, die nur stetig ist - oder sogar noch weniger. Es gibt einfach mehr Sätze, die man auf diese Klasse von Fuktioenn anweden kann. eine wichtige Eigenschaft ist halt, dass solche Funktionen lokal wie lineare aussehen - und lineare Funktionen sind sehr einfach.
> Der
> Differenzierbarkeit einer Funktion in einem Punkt a ist i.
> Allg. die Stetigkeit der Funktion in diesem Punkt a
> vorrausgesetzt, oder?
Aus diff.bar folgt stetig.
> Aber was untersuche ich jetzt in
> diesem Punkt a mit der Differenzierbarkeit?
Das sie diff.bar ist?!? Das kommt doch auf die Aufgabe an!
> 2)Die Berechnung der Grenzwerte von Funktionen ist i. Allg.
> der Berechnung der Grenzwerte von Folgen und Reihen gleich,
> oder sehe ich das falsch?
Ähnlich, aber nicht wirklich gleich. Wenn du einen Grenzwert gegen ein fixiertes x untersuchst, so müsstest du äquivalent dazu die Bildfolgen aller Folgen, die gegen x konvergieren untersuchen - und das ghet so ja eher weniger. Mit Epsilon-Deltahat man dann ein sehr ähnliches Verfahren, die zwarnicht genau gleich sind, wenn man aber das eine gute kann, wird man mit dm anderen auch ekine Probleme haben.
> 3) Warum ist |f| nicht beschränkt? Wie kann man das
> beweisen? Ich stehe da irgendwie auf dem Schlauch..
Die Aussage ist einfach falsch. Oder was soll |f| bedeuten?
SEcki
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:57 So 24.07.2005 | | Autor: | Fruchtsaft |
Danke erstmal für die Antworten.
Zu 3) Mit |f| meine ich die Betragsfunkton von f. Und eine Aussage im Script lautet halt so, wie ich es geschrieben habe. Aber ich wüßte es nicht zu beweisen..
Die Vorrausetzung ist: Eine stetige Funktion mit [mm] a \inD \subset \IR[/mm] und [mm]f:D \to\IR[/mm]
Aber gut zur Stetigkeit und Diff.barkeit. Die einzelnen Sätze und Definitionen kenne ich ja jetzt nun, aber ich weiss sie garnicht anzuwenden..
Ich habe folgende Aufgabe vor mir:
[mm] f(n)=\begin{cases} \bruch{2n^2-9n+10}{n-2}, & \mbox{für }n \not=2 \\ 0, & \mbox{für } n=2 \end{cases}[/mm]
1.1) Nun soll ich für alle Punkte [mm]a \in \IR[/mm] untersuchen ob f in a stetig ist.
1.2)Und untersuchen ob f in a einen Grenzwert besitzt und ihn ggf. bestimmen.
Nun, ehrlich gesagt, wüsste ich es überhaupt nciht anzupacken. Wer kann mir schrittweise helfen die Aufgabe zu lösen und mir vorallem die Anwendung der Stetigkeit dabei zu vermitteln.
Danke und Gruss
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:55 So 24.07.2005 | | Autor: | SEcki |
> Zu 3) Mit |f| meine ich die Betragsfunkton von f. Und eine
> Aussage im Script lautet halt so, wie ich es geschrieben
> habe. Aber ich wüßte es nicht zu beweisen..
Es gibt zwei Möglichkeiten: a) du hast was ausgelassen/ das Skript nicht richitg wiedergegeben, b) das Skript ist falsch. |f| kann durchaus beschränkt sein, |x| ist ja auch beschränkt in [m][-2,2][/m].
> [mm]f(n)=\begin{cases} \bruch{2n^2-9x+10}{x-2}, & \mbox{für }x \not=2 \\ 0, & \mbox{für } x=2 \end{cases}[/mm]
Die Fallunterschoedung macht doch nicht zu viel Sinn?!? Stimmt das mit den n's und mit den x's aus so wirkllich? sollten die n's nicht lieber auch x's sein, oder andersrum?
> 1.1) Nun soll ich für alle Punkte [mm]a \in \IR[/mm] untersuchen ob
> f in a stetig ist.
Falls n=x ist - dan ist ja nur x=2 kritisch, und dann mzust du schauen, ob du im Zähler x-2 ausklammern kannst. Falls tatsächlich n und x verschieden sind, ist das dann stetig für alle n - denn dann steht nichts anderes als [m]a*n^2+b[/m] mit passendem a und b da.
> 1.2)Und untersuchen ob f einen Grenzwert besitzt und ihn
> ggf. bestimmen.
Sehr komisch - Grenzwert wogegen? Unendlich? Def.lücke?
> Nun, ehrlich gesagt, wüsste ich es überhaupt nciht
> anzupacken.
Bei den Angaben kein Wunder ...
SEcki
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Ok, ich habe mich im vorherigen Thread berichtigt. Sorry, für das Unterschlagene 
Natürlich sind alle x=n (oder halt andersrum, aber in diesem Fall so rum).. Bin es nur gewohnt mit x zu schreiben und die Übung schreibt n.. *g*
Also der Lösungsansatz hilft mir jetzt ehrlich gesagt garnicht weiter. Der Ansatz fehlt, wie ich das lösen kann, worauf ich achten muss, und bei allem immer warum..
Gruss
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Hallo.
Um die Stetigkeit zu untersuchen, ist sicherlich nur der Punkt n=2 interessant, da der Nenner auf dem Rest von [mm] \IR [/mm] ungleich 0 ist, da können wir dann eine Polynomdivision machen und erhalten: $f(n)=2n-5$
Bleibt also der Punkt n=2.
Dort ist f offensichtlich unstetig.
Hier würde ich einen kleinen [mm] $\varepsilon-\delta$-Beweis [/mm] anstreben, z.B. so:
Sei [mm] $f(n)=\begin{cases} \bruch{2n^2-9n+10}{n-2}, & \mbox{für }n \not=2 \\ 0, & \mbox{für } n=2 \end{cases} [/mm] $
Sei [mm] \varepsilon>0, \delta<\frac{\varepsilon}{2}
[/mm]
Dann ist [mm] $\forall [/mm] x$ mit [mm] $|x-2|<\delta$: $|f(x)-f(2)|=|\bruch{2x^2-9x+10}{x-2}-f(2)|=|\bruch{2x^2-9x+10}{x-2}|=|2x-5|\le [/mm] 2|x-2|+1< [mm] 2\delta+1<\varepsilon+1>1$
[/mm]
Also ist f an der Stelle n=2 unstetig.
Gruß,
Christian
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Danke für die Antwort. Nur so ganz kann die Rechnung nicht nachvollziehen.
Ab hier [mm]\le 2|x-2|+1< 2\delta+1<\varepsilon+1>1[/mm] kann ich nicht ganz folgen. Wie kommst du darauf?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:56 Di 26.07.2005 | | Autor: | statler |
Hallo,
die Rechnungen sind zwar in jedem Schritt OK, aber der Schluß im ganzen nicht, weil in der Ungleichungskette sowohl größergleich als auch kleinergleich vorkommt, man also in Wirklichkeit gar nicht den ersten Term mit dem letzten verglichen hat.
Bsp.: Wenn x kleiner als y ist und y größer als 7, kann ich über die Größe von x nix sagen.
Gruß aus dem Norden
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