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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:14 Sa 12.02.2005 | | Autor: | Mukkular |
Moin,
folgende Aufgabe ist gestellt:
Es sei f: A [mm] \to [/mm] B eine Abbildung und es gelte A1, A1 [mm] \subseteq [/mm] A .
a.) Zeige f(A1)-f(A2) [mm] \subseteq [/mm] f(A1-A2)
b.) Zeige anhand eines beispiels, dass die Beziehung
f(A1-A2) [mm] \subseteq [/mm] f(A1)-f(A2) nicht allgemein gültig ist
Ich habe leider überhaupt keine Ahnung, wie ich an diese Aufgabe herangehen soll.
ich habe diese Frage in kein anderes Forum gestellt
Ist irgendjemand vorhanden (das ist wohl nicht so schwer bei meinem rudimentärem Wissen), der mehr Plan hat als ich und mir einen guten Tipp geben kann
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Hallo,
> folgende Aufgabe ist gestellt:
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> Es sei f: A [mm]\to[/mm] B eine Abbildung und es gelte A1, A1
> [mm]\subseteq[/mm] A .
>
> a.) Zeige f(A1)-f(A2) [mm]\subseteq[/mm] f(A1-A2)
1. Kennst du die verwendeten Schreibweisen? Was bedeutet z.B. "A1-A2", und wie sieht das in Mengenschreibweise aus?
In Mengenschreibweise sieht die Menge f(A1) so aus: [mm]f(A1) = \{b \in B \mid \exists a \in A1 : f(a) = b \}[/mm]
2. Wie sieht f(A1)-f(A2) aus?
3. Und wie sieht f(A1-A2) aus?
Jetzt musst du nur noch wissen, wie man im Allgemeinen eine Inklusion [mm]X \subseteq Y[/mm] beweist.
> b.) Zeige anhand eines beispiels, dass die Beziehung
> f(A1-A2) [mm]\subseteq[/mm] f(A1)-f(A2) nicht allgemein gültig ist
Auch hier hilft es, wenn du zunächst die drei obigen Fragen beantwortest.
Dann versuchst du dir zu überlegen, warum es nicht gelingt, diese Beziehung zu beweisen - an welcher Stelle kommst du im Beweis nicht weiter? Versuche, an dieser Stelle ein konkretes Beispiel zu konstruieren, an dem der Beweis scheitert. Auf diesem Weg erhältst du zwar erstmal "nur" ein Gegenbeispiel für den Beweis, aber oft erhält man so ein Gegenbeispiel für die behauptete Beziehung.
Gruss,
SirJective
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:25 So 13.02.2005 | | Autor: | Mukkular |
Liebe Leute (lieber Sirjective)
nett, dass ihr mir diesen Tip geschickt habe. Leider kann ich mit ihm nichts anfangen...
Sorry.
Kann man das verständlicher ausdrücken (ich bin mathematisch nicht so sehr begabt (was wohl unschwer zu erkennen ist)
Vielen Dank für eure Mühe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:43 So 13.02.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Mukkular!
Nehme dir mal ein $y [mm] \in f(A_1) -f(A_2)$.
[/mm]
Dann gibt es nach Definition ein [mm] $x_1 \in A_1$ [/mm] mit [mm] $f(x_1)=y$ [/mm] (denn $y [mm] \in f(A_1)$), [/mm] aber kein [mm] $x_2 \in A_2$ [/mm] mit [mm] $y=f(x_2)$ [/mm] (denn $y [mm] \notin f(A_2)$).
[/mm]
Insbesondere gilt: [mm] $x_1 \notin A_2$, [/mm] also: [mm] $x_1 \in A_1 \setminus A_2$.
[/mm]
Und jetzt? Warum sind wir jetzt "quasi fertig"? Du musst jetzt wirklich mal Zeit investieren, meine Schritte oben nachvollziehen und dir alle Definitionen gründlich anschauen. Was eigentlich ist zu zeigen?
Zu zeigen ist: $y [mm] \in f(A_1 -A_2)$. [/mm] Warum haben wir das jetzt gezeigt?
Zum Gegenbeispiel:
Du könntest einfach mal
$f : [mm] \begin{array}{ccc} \{1,2,3\} & \to & \{1,2\} \\[5pt] 1 & \mapsto & 1\\ 2 & \mapsto & 2 \\ 3 & \mapsto & 2 \end{array}$
[/mm]
betrachten.
Wie sieht dann [mm] $\{1,3\} [/mm] - [mm] \{1,2\}$ [/mm] aus? Was ist also [mm] $f(\{1,3\}- \{1,2\})$?
[/mm]
Wie sieht [mm] $f(\{1,3\})$ [/mm] aus? Wie sieht [mm] $f(\{1,2\})$ [/mm] aus? Was ist also: [mm] $f(\{1,3\}) [/mm] - [mm] f(\{1,2\})$?
[/mm]
Und jetzt überprüfe mal, ob
[mm] $f(\{1,3\}- \{1,2\}) \subset f(\{1,3\}) [/mm] - [mm] f(\{1,2\})$
[/mm]
gilt.
Viele Grüße
Stefan
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