Funktionen < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:57 Mi 30.07.2008 | | Autor: | pagnucco |
| Aufgabe | 1.) f:x->x² , x element R
Diese Funktion ist nicht umkehrbar und hat die y-Achse als Symmetrieachse. Der Graph von f ist die Normalparabel.
2.) f:x->x³ , x element R bzw. y=x³
Diese Funktion ist umkehrbar
|
Hallo
kleine Verständnisfrage, warum ist f(x)=x² , x element R nicht umkehrbar auf gesamt R und f(x)=x³, x element R wiederum schon? Warum ist x² nur auch R+ umkehrbar, aber x³ auf ganz R?
|
|
| |
|
Hallo,
> 1.) f:x->x² , x element R
>
> Diese Funktion ist nicht umkehrbar und hat die y-Achse als
> Symmetrieachse. Der Graph von f ist die Normalparabel.
>
>
> 2.) f:x->x³ , x element R bzw. y=x³
>
> Diese Funktion ist umkehrbar
>
> Hallo
>
> kleine Verständnisfrage, warum ist f(x)=x² , x element R
> nicht umkehrbar auf gesamt R und f(x)=x³, x element R
> wiederum schon? Warum ist x² nur auch R+ umkehrbar, aber x³
> auf ganz R?
Das ist so: Wenn du eine Zahl quadrierst, wie bei [mm] f(x)=x^{2}, [/mm] dann ergeben 2 x-Werte denselben Funktionswert, bsp. f(2)=f(-2)=4 .
Bei [mm] f(x)=x^{3} [/mm] gibt ein x-Wert auch genau einen Funktionswert. Diese Funktion ist also eindeutig und somit auch umkehrbar.
Ein bisschen komplizierter ausgedrückt bedeutet dies:
Eine Funktion ist umkehrbar, auf ihrer Wertemenge, wenn sie injektiv ist, d.h. dass keiner der Funktionswerte mehrmals vorkommen darf. Es darf also zu jedem y auch nur genau ein x existieren, so daß f(x) = y ist.
Die Injektivität einer Funktion f folgt sofort, wenn f streng monoton ist und dies wiederum ergibt sich, wenn ihre Ableitung echt positiv bzw. echt negativ ist.
[mm] f(x)=x^{3} [/mm] ist streng monoton denn wenn du mal von links nach rechts siehst, wird klar, dass die Funktionswerte mit wachsendem x auch immer größer werden.
Wenn man [mm] f(x)=x^{2} [/mm] jetzt umkehren möchte, muss man den Definitionsbereich einschränken. Wenn du jetzt nur den Parabelast für [mm] D=\IR_{+} [/mm] also alle positiven reellen Zahlen und Null betrachtest (sorry habe den Stern irgendwie nicht hinbekommen, denk es dir als R-Stern-Plus), siehst du, dass dieser Teil der Funktion streng monoton steigend ist, also ist dieser Teil der Funktion auch umkehrbar.
Lg,
exeqter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:15 Mi 30.07.2008 | | Autor: | pagnucco |
Danke für die Hilfe und schönen Abend noch 
Lg pagnucco
|
|
|
|
