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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 11:40 Mi 25.07.2007 | | Autor: | uwe-b |
Sind durch die Gleichungen eine Funktion gegeben? Überprüfe mittels einsetzen verschiedener Werte für [mm]x[/mm].
a) [mm] 4x+2y^2=0
[/mm]
b) [mm] -2y=x^2
[/mm]
c) [mm] y^2=x+1
[/mm]
d) [mm]2xy=1[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:55 Mi 25.07.2007 | | Autor: | rabilein1 |
Was ist mit "Funktion" genau gemeint?
a) Es gibt zu jedem x-Wert genau einen y-Wert
b) Zu jedem x-Wert gibt es mindestens einen y-Wert
c) Es gibt zu jedem y-Wert genau einen x-Wert
d) Zu jedem y-Wert gibt es mindestens einen x-Wert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:24 Do 26.07.2007 | | Autor: | Andi |
> Was ist mit "Funktion" genau gemeint?
>
> a) Es gibt zu jedem x-Wert genau einen y-Wert
> b) Zu jedem x-Wert gibt es mindestens einen y-Wert
> c) Es gibt zu jedem y-Wert genau einen x-Wert
> d) Zu jedem y-Wert gibt es mindestens einen x-Wert
Das wär doch mal ne super Frage für den Jauch!
Also ich nehm erst mal den 50/50 Joker:
> a) Es gibt zu jedem x-Wert genau einen y-Wert
> c) Es gibt zu jedem y-Wert genau einen x-Wert
So ..... hmm ... immer schon schierig da ruf ich lieber mal den otto an:
Andi: hi otto ich sitz grad beim jauch, also pass auf: Was gilt für eine Funktion
a) Es gibt zu jedem x-Wert genau einen y-Wert oder
c) Es gibt zu jedem y-Wert genau einen x-Wert
Otto: Na ja .... es kommt natürlich darauf an wie du die Abbildung definierst. Aber normalerweise ist ja f(x)=y und dann würde ich Antwort a) nehmen!
Andi: ok vielen dank ... kriegst auch ein Eis wenn ich die Million gewinne!
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Das war ein Spaß!  Und ich hoffe deine Frage ist auch beantwortet!
Mit freundlichen Grüßen,
Andi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:47 Do 26.07.2007 | | Autor: | rabilein1 |
Ich habe ja auch Sinn für Humor.
Aber mal im Ernst: Die Eingangs-Aufgabe ist nicht zu beantworten, ohne die Definition, was eine Funktion ist.
Die Aufgabe hätte genau so gut auch lauten können:
Welche Zahlen sind gerade?
A) 243
B) 28
C) 110
Wenn man nicht weiß, was unter "gerade" zu verstehen ist, dann kann man die Frage auch nicht beantworten.
Oder um auf die Originalfrage zurück zu kommen: Man muss doch wissen, nach welchem Kritierium man die vier Gleichungen untersuchen muss, um zu wissen, welche davon eine "Funktion" ist. Und dazu muss man die Definition kennen, mit oder ohne Telefonjoker.
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> Aber mal im Ernst: Die Eingangs-Aufgabe ist nicht zu
> beantworten, ohne die Definition, was eine Funktion ist.
Hallo,
verstehe ich Dich richtig, wenn ich das, worauf Du, rabilein, hinauswillst, so formuliere:
Die gestellte Aufgabe wäre sinnvoll, wenn dort stünde
"Ist durch die Gleichungen jeweils eine Funktion von x gegeben? Gib ggf. den maximalen Definitionsbereich [mm] (\subset \IR) [/mm] an."
Falls Du das meinst, stimme ich Dir zu. Ich habe auch erstmal einen Blick auf die Aufgabe geworfen und geschluckt.
Für die meisten 11.-Klässler dürfte es allerdings außer Frage stehen, daß Funktionen in Abhängigkeit von x gemeint sind.
Auch "Überprüfe mittes Einsetzen" will mir nicht schmecken. Ich würde sagen: "Begründe".
Ich meine aber nicht, daß man vor dem Stellen der eigentlichen Aufgabe den Funktionsbegriff erklären muß.
> Die Aufgabe hätte genau so gut auch lauten können:
> Welche Zahlen sind gerade?
> A) 243
> B) 28
> C) 110
Hm. Hiermit hätte ich kein Problem gehabt.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:14 Do 26.07.2007 | | Autor: | rabilein1 |
Das Beispiel mit den "geraden Zahlen" war vielleicht nicht so gut - oder gerade deshalb gut, weil dieser Begriff dermaßen eindeutig ist, dass er den meisten erwachsenen Menschen bekannt ist. (Wenn x-beliebige Leute auf der Straße fragst, ob 12 eine "gerade Zahl" ist, so würden bestimmt mehr als 90% diese Frage richtig beantworten)
Bei "Funktion" ist das jedoch m.E. nicht so klar. Das ergibt sich schon daraus, dass die Antworten von Otto (Andi) und Clwoe widersprüchlich sind.
Da sämtliche Gleichungen der Ursprungsaufgabe "knifflig" sind, hängt die Beantwortung der Frage jedoch von der exakten Definition ab.
(Bei y=2x+3 dagegen würde ich ohne Zögern sagen: Ja, das ist eine Funktion)
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> Bei "Funktion" ist das jedoch m.E. nicht so klar.
Aber wir fragen auch nicht Leute auf der Straße!
Das
> ergibt sich schon daraus, dass die Antworten von Otto
> (Andi) und Clwoe widersprüchlich sind.
Die von Andi ist richtig.
Jedem Element der Definitionsmenge wird genau ein Element des Wertebereiches zugeordnet.
>
> Da sämtliche Gleichungen der Ursprungsaufgabe "knifflig"
> sind, hängt die Beantwortung der Frage jedoch von der
> exakten Definition ab.
Klar, das ist doch bei allen Aufgaben so. Zunächst muß man wissen, worüber man redet.
Wenn ich mit Leuten über Matrizen rede und die denken an Matratzen, kann nichts Gescheites bei herauskommen.
Die Information über den Funktionsbegriff zu liefern ist aber nicht Aufgabe des Aufgabenstellers. Der kann getrost davon ausgehen, daß das Allgemeingut ist bei Leuten, die sich mit der Aufgabe beschäftigen -bzw. daß diese sich vor dem Lösen der Aufgaben informieren.
Der Funktionsbegriff wird in der Mittelstufe mehrfach besprochen - ich rede nicht darüber, ob das sinnvoll ist, oder nicht.
Man kann ihn also als bekannt bzw. erinnerbar voraussetzen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:35 Do 26.07.2007 | | Autor: | rabilein1 |
> Die Information über den Funktionsbegriff zu liefern ist
> aber nicht Aufgabe des Aufgabenstellers. Der kann getrost
> davon ausgehen, daß das Allgemeingut ist bei Leuten, die
> sich mit der Aufgabe beschäftigen -bzw. daß diese sich vor
> dem Lösen der Aufgaben informieren.
Hmmmm, hier bin ich etwas anderer Meinung, und über diesen Punkt habe ich mich auch schon mit anderen Forums-Mitgliedern "gestritten".
Warum: Die Definition eines Begriffes ist ja in den allermeisten Fällen der Knackpunkt überhaupt. Im allgemeinen ist in der Mathematik ein Ergebnis ja eindeutig mit JA oder NEIN , RICHTIG oder FALSCH zu klären.
Wenn man aber dennoch zu unterschiedlichen Ergebnissen kommt, dann doch meist deshalb, weil die Aufgabe unterschiedlich aufgefasst wurde (der eine redet von Matrizen, der andere von Matratzen)
Deshalb halte ich eine begriffliche Erläuterung seitens des Aufgabenstellers - zumindest auf Nachfrage - schon für sinnvoll.
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> Warum: Die Definition eines Begriffes ist ja in den
> allermeisten Fällen der Knackpunkt überhaupt. Im
> allgemeinen ist in der Mathematik ein Ergebnis ja eindeutig
> mit JA oder NEIN , RICHTIG oder FALSCH zu klären.
>
> Wenn man aber dennoch zu unterschiedlichen Ergebnissen
> kommt, dann doch meist deshalb, weil die Aufgabe
> unterschiedlich aufgefasst wurde (der eine redet von
> Matrizen, der andere von Matratzen)
Der Funktionsbegriff ist eindeutig geklärt. Er ist nicht verhandelbar.
Wenn da steht "Funktion", so ist über Funktionen zu reden (die Frage, von welcher Variablen sie abhängen, bleibt.)
Wenn man mitreden will, muß man sich über den Begriff Funktion informieren.
Wenn ich über Matratzen spreche, jemand in die Diskussion einsteigt, nicht weiß, was Matratzen sind und munter mitredet, hat er schnell das Thema verfehlt.
Für Matrizen analog.
Etwas anderes sind ungenaue Formulierungen der Aufgaben. Auch davon gibt es ja genug. Und solche, die falsch "nacherzählt" werden.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Do 26.07.2007 | | Autor: | rabilein1 |
In diesem konkreten Fall hier ist der "Fragesteller" selber gar kein "Hilfebedürftiger". Insofern kann es ihm auch egal sein, ob jemand auf seine Frage antwortet oder nicht.
Aber es gab konkrete Fälle - ich denke da an die Sache mit der "Konsumentenrente" - wo ich jemandem bei seiner Aufgabe eventuell hätte helfen können, wenn ich gewusst hätte, wie obiger Begriff definiert ist. Der Fragesteller wusste die Definition, hatte dafür jedoch Probleme auf anderen Gebieten (sonst hätte er die Aufgabe ja selber lösen können).
Da halte ich eine kurze Frage "Was ist unter .... zu verstehen?" für zweckmäßiger. Sich alternativ durchs halbe Internet durchlesen zu müssen, hält einen eher davon ab, sich mit der Aufgabe weiter zu beschäftigen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:37 Do 26.07.2007 | | Autor: | clwoe |
Warum ist meine Antwort widersprüchlich!?
Ich hatte doch recht mit meiner Aussage über die ersten beiden Funktionen.
Oder etwa nicht???
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:17 Fr 27.07.2007 | | Autor: | rabilein1 |
Otto (Andis Vater) sagte:
Bei einer Funktion gibt es zu JEDEM x-Wert GENAU EINEN y-Wert
clwoe sagte:
[mm] y=\bruch{1}{x} [/mm] ist eine Funktion
Für x=0 gibt es für [mm] y=\bruch{1}{x} [/mm] allerdings NULL y-Werte.
Fazit: Da [mm] 1\not=0 [/mm] (Anzahl der y-Werte für x=0) , ergibt sich ein Widerspruch zwischen den beiden Aussagen.
Meines Erachtens hätte die Aussage von Otto lauten müssen:
Bei einer Funktion gibt es zu jedem x-Wert HÖHSTENS einen y-Wert (dann wären sowohl NULL als auch EIN y-Wert zulässig).
War das jetzt "pingelig"? Aber in der Mathematik ist man doch immer so genau was Definitionen anbelangt. Und eben deshalb war es ja auch mein Anliegen, diese Definitionen mitzuliefern, damit nicht der eine über "Matrizen" und der andere über "Matratzen" redet.
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> Otto (Andis Vater) sagte:
> Bei einer Funktion gibt es zu JEDEM x-Wert GENAU EINEN
> y-Wert
>
> clwoe sagte:
> [mm]y=\bruch{1}{x}[/mm] ist eine Funktion
>
>
> Für x=0 gibt es für [mm]y=\bruch{1}{x}[/mm] allerdings NULL
> y-Werte.
>
> Fazit: Da [mm]1\not=0[/mm] (Anzahl der y-Werte für x=0) , ergibt
> sich ein Widerspruch zwischen den beiden Aussagen.
>
> Meines Erachtens hätte die Aussage von Otto lauten müssen:
> Bei einer Funktion gibt es zu jedem x-Wert HÖHSTENS einen
> y-Wert (dann wären sowohl NULL als auch EIN y-Wert
> zulässig).
Hallo,
wenn Otto so etwas gesagt hätte, wäre Otto durchgefallen! Was eine Funktion ist, ist nicht verhandelbar, da gibt's nichts zu deuteln.
Für eine Funktion benötigt man zwei Mengen, eine Definitionsmenge D und eine Wertemenge W.
f ist eine Funktion, wenn f jedem Element des Definitionsbereiches genau ein Element des Wertebereiches zuordnet.
Das bedeutet: Über "Funktion" zu sprechen und dabei "Definitionsmenge" und "Wertebereich" außen vorzulassen, ist sinnlos.
Um nun auf f(x):= [mm] \bruch{1}{x} [/mm] zu sprechen zu kommen:
[mm] \bruch{1}{x} [/mm] ist ja überhaupt nur für [mm] x\in \IR [/mm] \ [mm] \{0\} [/mm] definiert, also ist der maximale Definitionsbereich [mm] D=\IR [/mm] \ [mm] \{0\}, [/mm] und auf dieser Menge ist f eine Funktion.
Auf [mm] \IR [/mm] kann f keine Funktion sein, weil wie gesagt [mm] \bruch{1}{0} [/mm] nicht definiert ist.
Es ist also ganz wichtig, daß jedem Element der Definitionsmenge ein Wert zugewiesen wird.
Damit ist man beim zweiten Punkt: keinem Element der Definitionsmenge dürfen zwei verschiedene Werte zugewiesen werden.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:36 Fr 27.07.2007 | | Autor: | rabilein1 |
> Für eine Funktion benötigt man zwei Mengen, eine
> Definitionsmenge D und eine Wertemenge W.
>
> f ist eine Funktion, wenn f jedem Element des
> Definitionsbereiches genau ein Element des Wertebereiches
> zuordnet.
Danke, Angela.
Das war klar und deutlich und genau das, was ich mit meiner anfänglichen Frage wissen wollte.
Ich wollte ja keine Diskussion entfachen, sondern einfach nur wissen, wie "Funktion" definiert ist.
Weil: wenn man das weiß, dann fällt es auch leichter, die Ursprungsaufgabe zu beantworten.
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y=0*x+1 ist eindeutig eine Funktion
Da 0*x immer NULL ergibt und man NULL als Summand weglassen kann, könnte man also auch y=1 schreiben.
Ist das dann immer noch eine Funktion?
Wenn JA: Woran erkennt man das? Ein x (für das man den Deifintionsbereich bestimmen könnte) taucht nun ja gar nicht mehr auf.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:04 Sa 28.07.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Ralph!
Ja, auch bei $y \ = \ 1$ handelt es sich um eine Funktion, auch wenn sie unabhängig von $x_$ ist, da diese Variable nicht in der Funktionsvorschrift auftaucht.
Machen wird das mal bildlich; sprich mit dem Funktionsgraph:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Zunächst gibt es keinerlei einschränkungen für $x_$ , damit gilt für den Definitionsbereicht $D \ = \ [mm] \IR$ [/mm] .
Und es ist völlig egal, welchen x-Wert ich mir nehme: die Abbildung $x \ [mm] \mapsto [/mm] \ y \ = \ 1$ bildet stets eindeutig auf den y-Wert $1_$ ab.
Damit handelt es sich auch um eine Funktion.
Gruß
Loddar
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:25 Sa 28.07.2007 | | Autor: | rabilein1 |
Danke, Loddar.
Das würde dann also bedeuten, dass man aus
y=0*x+1 ==> y=1
auch dem umgekehrten Schluss ziehen kann:
y=1 ==> y=0*x+1 , wobei das x dann quasi aus dem NICHTS auftaucht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:03 Sa 28.07.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Ralph!
> auch dem umgekehrten Schluss ziehen kann:
>
> y=1 ==> y=0*x+1 , wobei das x dann quasi aus dem NICHTS auftaucht
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Das ist richtig so! Du hast hier also eine "geschickte Null" addiert.
Und in dieser Darstellung kannst Du auch gleich erkennen, dass die Gerade (= Funktionsgraph) die Steigung $m \ = \ 0$ hat.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:03 Sa 28.07.2007 | | Autor: | clwoe |
Genau das habe ich gesagt. Die erste ist eine Funktion da für alle x-Werte aus dem Definitionsbereich immer genau ein y-Wert in der Wertemenge vorkommt.
Nichts anderes habe ich behauptet. Deswegen ist das erste auf ihrem Definitionsbereich eine Funktion.
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> Genau das habe ich gesagt. Die erste ist eine Funktion da
> für alle x-Werte aus dem Definitionsbereich immer genau ein
> y-Wert in der Wertemenge vorkommt.
>
> Nichts anderes habe ich behauptet. Deswegen ist das erste
> auf ihrem Definitionsbereich eine Funktion.
Hallo,
die erste Aufgabe lautete
> a) [mm] 4x+2y^2=0, [/mm]
und wir wollen wissen, ob dies eine Funktion von x ist. Man sieht sofort, daß man als max. Definitionsbereich die neg. Zahlen inkl. 0 nehmen kann.
Nehmen wir nun als Wertebereich [mm] \IR, [/mm] so haben wir keine Funktion vorliegen, denn die Zuordnung
x [mm] \mapsto [/mm] y mit [mm] 4x+2y^2=0 [/mm] ist nicht eindeutig. (Auf welche Zahl wird z.B. -8 abgebildet?)
Wir können jedoch eine Funktion daraus machen, wenn wir den Wertebereich einschränken auf [mm] \IR_{\le 0} [/mm] oder [mm] \IR_{\ge 0}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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> Genau das habe ich gesagt. Die erste ist eine Funktion da
> für alle x-Werte aus dem Definitionsbereich immer genau ein
> y-Wert in der Wertemenge vorkommt.
Achso, möglicherweise meinst Du Jauchs Zusatzfragen v. Do. 10.18 Uhr... Die sind richtig gelöst.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:03 Sa 28.07.2007 | | Autor: | rabilein1 |
Genau, Angela - beide Aufgaben haben den Buchstaben a)
Clwoe meinte die Frage von Jauch, während du dich auf die Frage aus dem Eingangspostings bezogst.
Klassischer Fall von "Matrizen" und "Matratzen" *lach*
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:17 Sa 28.07.2007 | | Autor: | clwoe |
Na Gott sei Dank!
Ich habe schon an meinem Verstand gezweifelt. Ich meinte natürlich die ganze Zeit die Funktion [mm] f(x)=\bruch{1}{x}.
[/mm]
Nun ist mir alles klar!
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> a) Es gibt zu jedem x-Wert genau einen y-Wert
> Otto: dann würde ich Antwort a) nehmen!
Der Jauch ist nun gemein, und stellt noch eine Zusatzfrage:
Es geht um 1.) [mm] y=\bruch{1}{x} [/mm] und 2.) [mm] y^{2}= -x^{2}
[/mm]
Was trifft denn hier zu?
a) [mm] y=\bruch{1}{x} [/mm] ist eine Funktion, die lediglich für x=0 nicht definiert ist
b) [mm] y^{2}= [/mm] - [mm] x^{2} [/mm] ist eine Funktion, die lediglich für x<0 und x>0 nicht definiert ist
c) Beides sind keine Funktionen, da es nicht für JEDEN x-Wert auch einen y-Wert gibt (siehe Antwort von Otto)
d) Weder a noch b noch c treffen zu
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 10:37 Do 26.07.2007 | | Autor: | clwoe |
Hi,
die beiden ersten Antworten sind richtig. Für Aufgabe 1) trifft Antwort a) zu, denn für alle Werte der Definitionsmenge, also hier ganz [mm] \IR [/mm] ohne die 0 gibt es verschiedene Funktionswerte.
Für Aufgabe 2) trifft Antwort b) zu, denn auch hier gibt es für alle Werte der Definitionsmenge, also hier nur die 0 auch Funktionswerte, nämlich nur die 0, also handelt es sich hierbei auch um eine Funktion.
Denn es muss bei einer Funktion nicht für alle x-Werte Funktionswerte geben, sondern nur für die x-Werte aus der Definitionsmenge und die müssen zusätzlich noch verschieden sein.
Zusatz zu Aufgabe b):
Lasse ich bei Aufbabe b) die Komplexen Zahlen zu, dann gibt es sogar unendlich viele Lösungen für die Funktion und sie wäre somit komplex auf ganz [mm] \IR [/mm] und [mm] \IC [/mm] definiert. Denn die Funktion wäre dann: [mm] \pm [/mm] ix, und man könnte für x ganz [mm] \IR [/mm] zulassen und als Wertemenge [mm] \IC [/mm] nehmen.
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 12:47 Fr 27.07.2007 | | Autor: | angela.h.b. |
> Denn es muss bei einer Funktion nicht für alle x-Werte
> Funktionswerte geben, sondern nur für die x-Werte aus der
> Definitionsmenge und die müssen zusätzlich noch verschieden
> sein.
Hallo,
warum sollen die verschieden sein?
Wenn Du die Verschiedenheit der Funktionswerte forderst, bist Du bei der Injektivität.
Für "Funktion" benötigen wir das nicht.
Gruß v. Angela
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