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| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion [mm]f:x\to\bruch{x^2+2x-3}{x^2+x-2}[/mm].
Bestimmen Sie den Definitionsbereich, Nullstellen,Asymptoten, Grenzwerte und Nährungsverhalten zu f! |
Als Nullstellen habe ich {1/3} durch Mondscheinformel und Definitionsbereich ist D=R außer 1 aber dann weiss ich nicht wie ich weitermachen soll!
Kann mir jemand helfen!
Gruß
Diese Aufgabe habe ich in noch keinem Forum gestellt!
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Hi, chris,
> Gegeben sei die Funktion [mm]f:x\to\bruch{x^2+2x-3}{x^2+x-2}[/mm].
> Bestimmen Sie den Definitionsbereich,
> Nullstellen,Asymptoten, Grenzwerte und Näherungsverhalten zu f!
> Als Nullstellen habe ich {1/3} durch Mondscheinformel und
> Definitionsbereich ist D=R außer 1 aber dann weiss ich
> nicht wie ich weitermachen soll!
Merkregel Nr.1: NIEMALS MIT DEN NULLSTELLEN BEGINNEN!
ZUERST KOMMT DER DEFINITIONSBEREICH!
Also: [mm] x^{2} [/mm] + x - 2 = 0 <=> [mm] x_{1} [/mm] = 1; [mm] x_{2} [/mm] = -2.
(Die -2 fehlt bei Deiner "Lösung" oben! Warum? Hast Du versucht, zu raten! Mach' das nie!)
Daher: [mm] D_{f} [/mm] = [mm] \IR \backslash \{1; -2 \}
[/mm]
Nun die Nullstellen: [mm] x^{2} [/mm] + 2x - 3 = 0 ergibt:
[mm] x_{1} [/mm] = -3 (NICHT +3 !);
[mm] x_{2} [/mm] = 1. ABER!!!! Dies ist eben KEINE Nullstelle Deiner Funktion f, weil x=1 GAR NICHT ZUR DEFINITIONSMENGE GEHÖRT! (siehe oben!)
Demnach: Nur x = -3 ist Nullstelle Deiner Funktion.
Denk' erst mal darüber nach und frag', wenn Du was nicht kapierst!
(Vorher schauen wir uns den "Rest" der Aufgabe gar nicht an!)
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:17 So 05.11.2006 | | Autor: | mich1985 |
| Aufgabe | | $ [mm] f:x\to\bruch{x^2+2x-3}{x^2+x-2} [/mm] $ |
Hallo,
ich habe mir zur Übung mal die oben genannte Aufgabe vorgenommen und habe nun ein Problem mit der Frage nach Grenzwerten sowie nach dem Näherungsverhalten.
Die Asymptoten konnten ja rehct einfach bestimmt werden (sofern ich da richtig liege).
1. Asymptote parallel zur y-Achse = -2 da die eine Def. Lücke ein Pol ist.
2. Asymptote parallel zur x-Achse = 1 da [mm] x^2/x^2=1 [/mm] wenn man nur die höchsten Potenzen aus beiden Polynomen nimmt.
Wie soll ich nun die Grenzwerte ausrechnen? Sind das nicht -2 und 1?(Näherungsverhalten?)
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Hallo mich1985,
> [mm]f:x\to\bruch{x^2+2x-3}{x^2+x-2}[/mm]
> Hallo,
> ich habe mir zur Übung mal die oben genannte Aufgabe
> vorgenommen und habe nun ein Problem mit der Frage nach
> Grenzwerten sowie nach dem Näherungsverhalten.
> Die Asymptoten konnten ja rehct einfach bestimmt werden
> (sofern ich da richtig liege).
> 1. Asymptote parallel zur y-Achse = -2 da die eine Def.
> Lücke ein Pol ist.
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Was ist mit der anderen Def.lücke?
> 2. Asymptote parallel zur x-Achse = 1 da [mm]x^2/x^2=1[/mm] wenn
> man nur die höchsten Potenzen aus beiden Polynomen nimmt.
>
> Wie soll ich nun die Grenzwerte ausrechnen? Sind das nicht
> -2 und 1?(Näherungsverhalten?)
zu untersuchen wäre nun:
1. Verhalten links und rechts von der Polstelle: Vorzeichenwechsel ja/nein?
2. Verhalten für [mm] x\rightarrow\infty [/mm] : oberhalb oder unterhalb der waagerechten Asymptote?
Mit ![[]](/images/popup.gif) FunkyPlot gezeichnet erkennst du schon:
[Dateianhang nicht öffentlich]
aber das solltest du auch rechnerisch nachweisen.
Gruß informix
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:56 So 05.11.2006 | | Autor: | mich1985 |
| Aufgabe | | $ [mm] f:x\to\bruch{x^2+2x-3}{x^2+x-2} [/mm] $ |
>
> zu untersuchen wäre nun:
> 1. Verhalten links und rechts von der Polstelle:
> Vorzeichenwechsel ja/nein?
> 2. Verhalten für [mm]x\rightarrow\infty[/mm] : oberhalb oder
> unterhalb der waagerechten Asymptote?
> Mit FunkyPlot gezeichnet erkennst
> du schon:
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> aber das solltest du auch rechnerisch nachweisen.
>
> Gruß informix
Sry das ich noch mal eben nachfragen muss, aber genügt es bei dieser Fragestellung wenn ich das Näherungsverhalten durch Wertetabellen darstelle oder muss sowas irgendwie speziell gemacht werden? (1,...,100000)
Grenzwert [mm] x^2/x^2=1?
[/mm]
mfg.
Florian
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Hi, mich,
> [mm]f:x\to\bruch{x^2+2x-3}{x^2+x-2}[/mm]
> >
> > zu untersuchen wäre nun:
> > 1. Verhalten links und rechts von der Polstelle:
> > Vorzeichenwechsel ja/nein?
> > 2. Verhalten für [mm]x\rightarrow\infty[/mm] : oberhalb oder
> > unterhalb der waagerechten Asymptote?
> > aber das solltest du auch rechnerisch nachweisen.
> >
> > Gruß informix
>
> Sry das ich noch mal eben nachfragen muss, aber genügt es
> bei dieser Fragestellung wenn ich das Näherungsverhalten
> durch Wertetabellen darstelle oder muss sowas irgendwie
> speziell gemacht werden? (1,...,100000)
> Grenzwert [mm]x^2/x^2=1?[/mm]
Falls der Grenzwert rechnerisch ermittelt werden soll, genügt Dein Vorschlag nicht!
Dann musst Du z.B. für den Grenzwert für x [mm] \to \infty [/mm] so vorgehen:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{x^{2}+2x-3}{x^{2}+x-2}
[/mm]
"Erweitern mit dem Kehrwert der höchsten Nennerpotenz":
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{(x^{2}+2x-3)*\bruch{1}{x^{2}}}{(x^{2}+x-2)*\bruch{1}{x^{2}}}
[/mm]
= [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{1+\bruch{2}{x}-\bruch{3}{x^{2}}}{1+\bruch{1}{x}-\bruch{2}{x^{2}}}
[/mm]
Nun gehen aber - bekanntermaßen - alle Terme der Art [mm] \bruch{Konst.}{x^{n}} [/mm] für x [mm] \to \infty [/mm] gegen 0,
daher ist der oben gesuchte Grenzwert =1.
Für x [mm] \to "\red{Definitionsluecke}" [/mm]
arbeitest Du ggf. mit der h-Definition.
mfG!
Zwerglein
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