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Funktionen: Injektivität
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:36 So 21.01.2018
Autor: sancho1980

Aufgabe
Zeigen Sie. Wenn f und g injektiv sind, dann ist auch f [mm] \circ [/mm] g injektiv.

Hallo

ich würde die Aufgabe so lösen:

Wenn f [mm] \circ [/mm] g injektiv wäre, dann müsste für die Umkehrfunktion gelten:

(f [mm] \circ g)^{-1} [/mm] = [mm] g^{-1} \circ f^{-1} [/mm]

Da sowohl [mm] f^{-1} [/mm] als auch [mm] g^{-1} [/mm] eindeutig definiert sind, existiert auch die Umkehrfunktion, was gleichbedeutend ist mit der Aussage, dass f [mm] \circ [/mm] g injektiv ist.

Ist damit die Aufgabe in zulässiger Weise gelöst? Oder fehlt da noch was?

Danke und Gruß

Martin

        
Bezug
Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:42 So 21.01.2018
Autor: Diophant

Hallo,

> Zeigen Sie. Wenn f und g injektiv sind, dann ist auch f
> [mm]\circ[/mm] g injektiv.
> Hallo

>

> ich würde die Aufgabe so lösen:

>

> Wenn f [mm]\circ[/mm] g injektiv wäre, dann müsste für die
> Umkehrfunktion gelten:

>

> (f [mm]\circ g)^{-1}[/mm] = [mm]g^{-1} \circ f^{-1}[/mm]

>

> Da sowohl [mm]f^{-1}[/mm] als auch [mm]g^{-1}[/mm] eindeutig definiert sind,
> existiert auch die Umkehrfunktion, was gleichbedeutend ist
> mit der Aussage, dass f [mm]\circ[/mm] g injektiv ist.

Injektivität reicht nicht für die Umkehrbarbeit, dazu müssten beide Funktionen bijektiv sein.

Wenn g injektiv ist, dann gilt per Voraussetzung

[mm] x_1\ne{x_2}\ \Rightarrow\ g(x_1)\ne{g(x_2)} [/mm]

Was folgt also dann mit der Injektivität von f?


Gruß, Diophant

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