Funktionaldet. für Doppelinteg < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo
Hab folgendes Beispiel zu lösen
[mm] \integral_{}^{}{}\integral_{}^{}{x^{2}+y^{2}dxdy} [/mm]
wobei D vn [mm] x^{2}-y^{2}=1,x^{2}-y^{2}=3,xy=2,xy=4 [/mm] begrenzt wird
man soll [mm] u=x^{2}-y^{2}, [/mm] v=2xy Substituieren
Also substituier ich mal
[mm] x^{2}-y^{2}=1 [/mm] u=1
[mm] x^{2}-y^{2}=3 [/mm] u=3
xy=2 v=4
xy=4 v=8
das ergibt den Integrationsbereich 1 [mm] \le [/mm] u [mm] \le3 [/mm] und 4 [mm] \le [/mm] v [mm] \le8
[/mm]
jetzt muss ich die Funktionaldeterminante berechnen wo ich schon Schwierigkeiten hab
die sieht doch so aus [mm] \vmat{ x_{u} & x_{v}\\ y_{u} & y_{v} }
[/mm]
[mm] x=\wurzel{u-y^{2}} [/mm] ich schaffe es aber nicht x(u,v)= bzw. y=(u,v) explizit anzuschreiben hab ich da was übersehen oder bilde ich eine falsche Funktdet
Danke schon mal für die Hilfe
lg Stevo
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:13 Sa 08.04.2006 | | Autor: | prfk |
Moin
Also ich hab da noch ne Frage:
Was ist D?
Und dann hast du da einige Doppeldefinitionen drin... Du kannst nicht einmal u=1 schreiben und in der nächsten Zeile behaupten u wäre jetzt 3. Ebenso mit den Funktionen. Das muss irgendwie eindeutig definiert werden. Das gibt sonst nur Verwirrung.
Vielleicht kannst du ja noch mal die Aufgabe etwas genauer Beschreiben, denn ich hab so leider keinen Plan worum es dabei eigendlich geht.
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Hallo
Also ich schreib die ganze Angabe ab:
Berechnen Sie [mm] \integral_{D}^{}{} \integral_{}^{}{(x^{2}+y^{2}dxdy}, [/mm] wobei D von den Hyperbeln [mm] x^{2}-y^{2}=1, x^{2}-y^{2}=3, [/mm] x*y=2 und x*y=4 begrenzt wird.
(Hinweis: Substituieren Sie [mm] u=x^{2}-y^{2}, [/mm] v=2*x*y)
das ist genau das was hier steht
Danke
lg Stevo
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Zuerst mußt du dir klarmachen, was überhaupt der Bereich [mm]D[/mm] ist. Dazu mußt du dir die Hyperbeln zeichnen. Das hilft sonst alles nichts.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wie du siehst, sind es zwei Bereiche, die von den Hyperbeln eingeschlossen werden. Ich vermute einmal, daß du noch eine Angabe unterdrückt hast, z.B. "im ersten Quadranten". Dann ist nur der rechte obere Teil zu berechnen (im anderen Fall mußt du den Integralwert einfach verdoppeln, weil der Integrand [mm]x^2+y^2[/mm] gegen Vorzeichenänderungen unempfindlich ist - Punktsymmetrie der Figur!). [mm]D[/mm] (ich nehme jetzt also die Fläche im ersten Quadranten) wird bestimmt durch die Ungleichungen
[mm]\text{(I)} \ \ x^2 - y^2 \geq 1 \, , \ \ \ \ \text{(II)} \ \ x^2 - y^2 \leq 3 \, , \ \ \ \ \text{(III)} \ \ xy \geq 2 \, , \ \ \ \ \text{(IV)} \ \ xy \leq 4[/mm]
Warum das so ist und warum die Relationszeichen gerade so und nicht anders herum gehen, kannst du dir selbst einmal überlegen (wichtig!).
Jetzt mußt du in allen Ungleichungen mittels der vorgegebenen Substitution [mm]x[/mm] und [mm]y[/mm] eliminieren und alles durch [mm]u,v[/mm] ausdrücken. Das geht hier ganz einfach, denn die Substitution ist gerade so gemacht. Durch die neuen Ungleichungen wird ein Bereich [mm]D'[/mm] im [mm]uv[/mm]-Koordinatensystem definiert. Über den mußt du dann integrieren. Und wenn du zuvor die Funktionaldeterminante
[mm]\frac{\partial{(u,v)}}{\partial{(x,y)}}[/mm]
berechnet hast, dann sollte dir etwas auffallen.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 So 09.04.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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