Funktional: linear und stetig? < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:37 Mi 11.05.2011 | | Autor: | Docci |
| Aufgabe | Für welche [mm] a,b\in\IR:\alpha,\beta>0 [/mm] ist
[mm] f(u):=\integral_{0}^{1}{\bruch{a*u(t)^{\alpha}+b}{t^{\beta}}dt} [/mm] mit [mm] u\in L_{2}(0,1)
[/mm]
ein lineares stetiges Funktional über [mm] L_{2}(0,1) [/mm] |
Dazu habe ich mir folgendes aufgeschrieben:
Wenn f(u)=(u|v) mit [mm] v\in L_{2}(0,1) [/mm] (u laut Aufgabenstellung auch und (u|v) ist das Skalarprodukt)
dann ist das Funktional f linear und stetig.
[mm] f(u)=\integral_{0}^{1}{\bruch{a*u(t)^{\alpha}+b}{t^{\beta}}dt}=\integral_{0}^{1}{u(t)*v(t) dt} [/mm] mit [mm] v(t)=\bruch{a}{t^{\beta}}, \beta=\alpha [/mm] und b=0
ist das so korrekt?
MfG
Doc
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Hi,
für Linearität muss [mm] \alpha=1 [/mm] und b=0 sein. Damit das stetig ist, ist [mm] \beta<\bruch{1}{2} [/mm] hinreichend. Sieht man direkt mit Cauchy-Schwarz.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:32 Mi 11.05.2011 | | Autor: | Docci |
Hi,
Danke für deine Antwort. Wenn ich Linearität und Stetigkeit einzeln bestimme, komme ich auch auf dieses Ergebnis. Ich hatte gehofft, dass man mit obiger Beziehung vlt. weniger Einschränkungen der Konstanten erhält. Allerdings habe ich in meiner Argumentation auch schon einen Fehler entdeckt und bisher noch keine andere Lösung gefunden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:33 Mi 11.05.2011 | | Autor: | Docci |
Kann das [mm] \beta [/mm] nicht auch beliebig gewählt werden?
denn mit [mm] \alpha=1 [/mm] und b=0 lautet [mm] f(u)=\integral_{0}^{1}{\bruch{a*u(t)}{t^{\beta}} dt}=\integral_{0}^{1}{u(t)*v(t) dt}=(u|v) [/mm] mit [mm] v(t)=\bruch{a}{t^{\beta}}
[/mm]
Aber mit der Stetigkeitsbedingung [mm] |f(u)|\le [/mm] c||u|| und Cauchy-Schwartz folgt:
[mm] |\integral_{0}^{1}{\bruch{a*u(t)}{t^{\beta}} dt}|\le(\integral_{0}^{1}{|u(t)|^{2} dt})^{1/2}*(\integral_{0}^{1}{|\bruch{a}{t^{\beta}}|^{2} dt})^{1/2}\Rightarrow (\integral_{0}^{1}{|\bruch{a}{t^{\beta}}|^{2} dt})^{1/2}=c\Rightarrow \beta<1/2
[/mm]
heißt das also, dass f(u)=(u|v) mit [mm] u,v\in L_{2}(0,1) [/mm] nicht Linearität und Stetigkeit von f(u) impliziert?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:11 Mi 11.05.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Kann das [mm]\beta[/mm] nicht auch beliebig gewählt werden?
>
> denn mit [mm]\alpha=1[/mm] und b=0 lautet
> [mm]f(u)=\integral_{0}^{1}{\bruch{a*u(t)}{t^{\beta}} dt}=\integral_{0}^{1}{u(t)*v(t) dt}=(u|v)[/mm]
> mit [mm]v(t)=\bruch{a}{t^{\beta}}[/mm]
>
> Aber mit der Stetigkeitsbedingung [mm]|f(u)|\le[/mm] c||u|| und
> Cauchy-Schwartz folgt:
>
> [mm]|\integral_{0}^{1}{\bruch{a*u(t)}{t^{\beta}} dt}|\le(\integral_{0}^{1}{|u(t)|^{2} dt})^{1/2}*(\integral_{0}^{1}{|\bruch{a}{t^{\beta}}|^{2} dt})^{1/2}\Rightarrow (\integral_{0}^{1}{|\bruch{a}{t^{\beta}}|^{2} dt})^{1/2}=c\Rightarrow \beta<1/2[/mm]
>
> heißt das also, dass f(u)=(u|v) mit [mm]u,v\in L_{2}(0,1)[/mm]
> nicht Linearität und Stetigkeit von f(u) impliziert?
Für [mm] $\beta \ge [/mm] 1/2$ ist $v(t) = [mm] \bruch{a}{t^{\beta}} \notin L_{2}(0,1)$, [/mm] weil dann das Integral
[mm]\integral_{0}^{1}{|\bruch{a}{t^{\beta}}|^{2} dt}[/mm]
dann an der unteren Grenze divergiert.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:03 Mi 11.05.2011 | | Autor: | Docci |
ja so einfach kann's sein!
danke
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