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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:36 Mo 16.08.2010 | | Autor: | hula |
Hallöchen!
Ich hab mal wieder eine Frage. Ich habe die Menge der dreimal stetig differenzierbaren Funktionen auf $\ [mm] \IR [/mm] $, für die jeweils $\ f,f',f'',f'''$ alle beschränkt sind. Nun zu meiner Frage:
wieso kann man eine Funktion $\ f$ in dieser Menge wählen für welche gilt:
Sei $\ x [mm] \in \IR, \delta [/mm] > 0$ fest.
[mm] \I1_{(-\infty,x]} \le f \le \I1_{(-\infty,x+\delta]} [/mm]
Danke für die Hilfe!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:49 Mo 16.08.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
deine Bezeichnung $ [mm] \I1_{(-\infty,x]} \le [/mm] f [mm] \le \I1_{(-\infty,x+\delta]} [/mm] $ ist für mich unverständlich, ist mit [mm] \I1_{(-\infty,x]} [/mm] irgendwie ein Intervall für x gemeint?
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:04 Mo 16.08.2010 | | Autor: | hula |
Hier die Erklärung:
[mm]\I1_{(-\infty,x]}(y)=\begin{cases} 0, & y \in (x,\infty) \\ 1, & y \in (-\infty,x]\end{cases} [/mm]
Hoffe das hilft weiter!
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Man könnte das auch so sagen: [mm]f(t)[/mm] soll konstant 1 sein für [mm]t \leq x[/mm] und konstant 0 für [mm]t \geq x + \delta[/mm]. Und stets muß [mm]f(t) \in [0,1][/mm] gelten. Zeichne dir eine Skizze. Für den Bereich [mm]x \leq t \leq x + \delta[/mm] kannst du das Graphenstück einer ganzrationalen Funktion [mm]g(t)[/mm] nehmen, das vom Hochpunkt [mm](x,1)[/mm] zum Tiefpunkt [mm](x+\delta,0)[/mm] fällt, gerne streng monoton und symmetrisch.
Ich nehme einmal den Fall [mm]x = -1[/mm] und [mm]\delta = 2[/mm]. Der Graph von [mm]g[/mm] soll also von [mm](-1,1)[/mm] auf [mm](1,0)[/mm] fallen.
Damit die nötigen Differenzierbarkeitsvoraussetzungen vorliegen, muß [mm]g'[/mm] bei -1 und 1 Nullstellen mindestens der Ordnung 3 besitzen. Der einfachste Fall dafür wäre [mm]t \mapsto (t+1)^3 (t-1)^3[/mm]. Eine Stammfunktion davon ist [mm]t \mapsto \frac{1}{7} t^7- \frac{3}{5} t^5 + t^3 - t[/mm]. Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung und fällt im Intervall [mm][-1,1][/mm] streng monoton. Die Funktion hat bei [mm]t = -1[/mm] den Wert [mm]\frac{16}{35}[/mm]. Also wird noch mit [mm]\frac{35}{32}[/mm] in [mm]y[/mm]-Richtung gestreckt (jetzt ist [mm]\frac{1}{2}[/mm] der Funktionswert bei -1, und die Differenz der Ordinaten von Hoch- und Tiefpunkt ist 1). Schließlich wird noch um [mm]\frac{1}{2}[/mm] in [mm]y[/mm]-Richtung verschoben:
[mm]g(t) = \frac{1}{32} \left( 5 t^7- 21 t^5 + 35 t^3 - 35 t + 16\right)[/mm]
Und voilá! Hier ist die Musterfunktion:
[mm]f(t) = \begin{cases} 1 & \mbox{für} \ \ t \leq -1 \\ g(t) & \mbox{für} \ \ -1 < t < 1 \\ 0 & \mbox{für} \ \ t \geq 1 \end{cases}[/mm]
Und die mußt du jetzt nur noch geeignet in [mm]x[/mm]-Richtung strecken und verschieben, so daß sich das alles im Intervall [mm][x,x+\delta][/mm] abspielt.
Es gibt übrigens sogar Funktionen der Klasse [mm]C^{\infty}[/mm], die von konstant 1 auf konstant 0 fallen. Das bekommt man dann aber nicht mehr mit ganzrationalen Funktionen hin.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:00 Di 17.08.2010 | | Autor: | hula |
Danke für deine Hilfe!
Ich sehe ein, dass die Funktion $\ f $ eine Gestalt wie folgt haben muss:
[mm] f(t)=\begin{cases} 1, & t \le x \\ g(t) \in [0,1], & t \in (x,x+\delta) \\ 0, & t \ge x+\delta \end{cases} [/mm].
> Damit die nötigen Differenzierbarkeitsvoraussetzungen
> vorliegen, muß [mm]g'[/mm] bei -1 und 1 Nullstellen mindestens der
> Ordnung 3 besitzen. Der einfachste Fall dafür wäre [mm]t \mapsto (t+1)^3 (t-1)^3[/mm].
> Eine Stammfunktion davon ist [mm]t \mapsto \frac{1}{7} t^7- \frac{3}{5} t^5 + t^3 - t[/mm].
Wieso der Ordnung 3?
Des weiteren muss gelten:
1.[mm] g(x) = 1, g(x+\delta)=0 [/mm]
2.[mm] g'(x) = g'(x+\delta) = 0 [/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:48 Di 17.08.2010 | | Autor: | fred97 |
> Danke für deine Hilfe!
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> Ich sehe ein, dass die Funktion [mm]\ f[/mm] eine Gestalt wie folgt
> haben muss:
>
> [mm]f(t)=\begin{cases} 1, & t \le x \\ g(t) \in [0,1], & t \in (x,x+\delta) \\ 0, & t \ge x+\delta \end{cases} [/mm].
>
>
> > Damit die nötigen Differenzierbarkeitsvoraussetzungen
> > vorliegen, muß [mm]g'[/mm] bei -1 und 1 Nullstellen mindestens der
> > Ordnung 3 besitzen. Der einfachste Fall dafür wäre [mm]t \mapsto (t+1)^3 (t-1)^3[/mm].
> > Eine Stammfunktion davon ist [mm]t \mapsto \frac{1}{7} t^7- \frac{3}{5} t^5 + t^3 - t[/mm].
>
> Wieso der Ordnung 3?
f soll doch 3 mal stetig differenzierbar sein, was bedeutet denn das ?
FRED
>
> Des weiteren muss gelten:
> 1.[mm] g(x) = 1, g(x+\delta)=0[/mm]
> 2.[mm] g'(x) = g'(x+\delta) = 0[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:16 Di 17.08.2010 | | Autor: | hula |
stetig differenzierbar bedeutet, dass die Funktion differenzierbar ist und die Ableitung stetig ist.
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Ja, und das nun dreimal (!!!).
Nehmen wir noch einmal den Fall [mm]x = -1[/mm] und [mm]\delta = 2[/mm]. Die Funktion [mm]f[/mm] soll auf den Intervallen [mm](-\infty,-1][/mm] und [mm][1,\infty)[/mm] konstant sein. Dann müssen auf diesen Intervallen alle drei Ableitungen verschwinden. Das muß insbesondere in den Randpunkten gelten. Wir fordern daher:
[mm]f'(\pm 1) = f''(\pm 1) = f'''(\pm 1) = 0[/mm]
Ich muß folglich meine ganzrationale Funktion [mm]g[/mm] so konstruieren, daß
[mm]g'(\pm 1) = g''(\pm 1) = g'''(\pm 1) = 0[/mm]
ist. Das heißt aber gerade, daß [mm]\pm 1[/mm] Nullstellen von [mm]g'[/mm] mindestens der Ordnung 3 sind. (Die Werte [mm]g'(-1),g''(-1),g'''(-1)[/mm] sind, wenn [mm]f[/mm] dreimal differenzierbar ist, die rechtsseitigen Ableitungen von [mm]f[/mm] bei -1 und müssen mit den Ableitungen von [mm]f[/mm] bei - 1 übereinstimmen. Mutatis mutandis gilt das auch für die Stelle 1.)
Würde ich zum Beispiel für [mm]g'[/mm] nur Nullstellen der Ordnung 2 vorschreiben, also etwa (mit einem [mm]a>0[/mm] geeignet gewählt)
[mm]g'(t) = - a (t+1)^2 (t-1)^2[/mm]
dann würde zwar noch [mm]g'(\pm 1) = g''(\pm 1) = 0[/mm] gelten, aber es wäre [mm]g'''(\pm 1) \neq 0[/mm].
Wenn man nun im mittleren Teilintervall [mm][-1,1][/mm] für [mm]f[/mm] wieder die Vorschrift von [mm]g[/mm] nähme, dann wäre [mm]f''[/mm] an den Stellen [mm]\pm 1[/mm] zwar noch links- und rechtsseitig differenzierbar. Diese einseitigen Ableitungen wären aber nicht dieselben, so daß [mm]f''[/mm] bei [mm]\pm 1[/mm] nicht mehr differenzierbar wäre.
Den allgemeinen Fall kannst du auf das [mm]f[/mm] aus meinem Beitrag zurückführen. Du mußt nur in horizontaler Richtung strecken und verschieben. Erst strecken, dann verschieben. So wird es leichter.
Wie war das nochmal? Wie geht der Graph von [mm]\psi(t) = \varphi(t-c)[/mm] aus dem Graphen von [mm]\varphi(t)[/mm] hervor? Und wie ist es bei [mm]\psi(t) = \varphi(ct)[/mm] ? Mache dir das an einem einfachen Beispiel klar. Vorschlag: [mm]\varphi(t) = \frac{1}{1 + t^2}, \, c=3[/mm].
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