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Guten Morgen!
Ich möchte von der folgenden Funktion die Nullstellen bestimmen,
doch zuerst möchte ich die Funktion vereinfachen:
f(x) = [mm] \bruch{1}{6}*(x+1)^{2} [/mm] * (x-2)
So hab ich die nun vereinfacht:
= [mm] \bruch{1}{6}* (x^{2}+2x+1) [/mm] * (x-2)
= [mm] \bruch{1}{6}* (-2x^{3}-4x^{2}-2x)
[/mm]
= [mm] -\bruch{2}{6}x^{3}- \bruch{4}{6}x^{2}-\bruch{2}{6}x
[/mm]
= [mm] -\bruch{1}{3}x^{3}- \bruch{2}{3}x^{2}- \bruch{1}{3}x
[/mm]
So,wenn ich mit der Funktion aber weiter mache und die
Nullstellen zu berechen, so kriege ich andere Ergebnisse
raus als es sein sollte (Nullstellen sollten bei x=-1 und x=2 liegen)
Wo ist mein Fehler?
Gruß,
Muellermilch
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Hallo Müllermilch!
Dein Fehler liegt darn, dass Du überhaupt angefangen hast, die Klammern auszumultiplizieren. Für die Bestimmung der Nullstellen ist das nämlich absolut überflüssig (und wie auch hier geschehen eine Fehlerquelle).
Ich habe Deine Rechnung auch nicht nachgerechnet.
Mit dem Prinzip des Nullproduktes ("Ein Produkt ist genau dann gleich Null, wenn mind. einer der Faktoren Null ist.") kannst Du die Nullstellen der Funktion doch quasi ablesen.
Aus [mm]f(x) = \bruch{1}{6}*(x+1)^{2} * (x-2) \ = \ 0[/mm] folgt unmittelbar:
[mm](x+1)^2 \ = \ 0[/mm] oder [mm]x-2 \ = \ 0[/mm]
> So hab ich die nun vereinfacht:
Wie gesagt: das ist nicht vereinfacht sondern arg verkompliziert!
Gruß vom
Roadrunner
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> Hallo Müllermilch!
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> Dein Fehler liegt darn, dass Du überhaupt angefangen hast,
> die Klammern auszumultiplizieren. Für die Bestimmung der
> Nullstellen ist das nämlich absolut überflüssig (und wie
> auch hier geschehen eine Fehlerquelle).
>
> Ich habe Deine Rechnung auch nicht nachgerechnet.
>
> Mit dem Prinzip des Nullproduktes ("Ein Produkt ist genau
> dann gleich Null, wenn mind. einer der Faktoren Null ist.")
> kannst Du die Nullstellen der Funktion doch quasi ablesen.
>
> Aus [mm]f(x) = \bruch{1}{6}*(x+1)^{2} * (x-2) \ = \ 0[/mm] folgt
> unmittelbar:
>
> [mm](x+1)^2 \ = \ 0[/mm] oder [mm]x-2 \ = \ 0[/mm]
>
aah. ok. Und was mach ich aber dann mit dem Bruch [mm] \Bruch{1}{6} [/mm] ?
Muss der da auch nicht mit ren?
> > So hab ich die nun vereinfacht:
>
> Wie gesagt: das ist nicht vereinfacht sondern arg
> verkompliziert!
Und wenn ich aber die Ableitungen bestimmen möchte,
dann muss ich das doch alels ausmultiplizieren oder?
Lehrer sagt das so.
> Gruß vom
> Roadrunner
Gruß,
Muellermilch
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:43 Mi 17.11.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> > Aus [mm]f(x) = \bruch{1}{6}*(x+1)^{2} * (x-2) \ = \ 0[/mm] folgt
> > unmittelbar:
> >
> > [mm](x+1)^2 \ = \ 0[/mm] oder [mm]x-2 \ = \ 0[/mm]
> >
> aah. ok. Und was mach ich aber dann mit dem Bruch
> [mm]\bruch{1}{6}[/mm] ?
> Muss der da auch nicht mit ren?
Nein, [mm] \bruch{1}{6} [/mm] selber kann ja nicht Null werden, aber [mm] \bruch{1}{6}*0 [/mm] bleibt Null.
>
> > > So hab ich die nun vereinfacht:
> >
> > Wie gesagt: das ist nicht vereinfacht sondern arg
> > verkompliziert!
>
> Und wenn ich aber die Ableitungen bestimmen möchte,
> dann muss ich das doch alels ausmultiplizieren oder?
> Lehrer sagt das so.
Yep, wenn du den Term ausmültiplizierst, bekommst du deine ganzrationale Funktion dritten Grades in der für die Ableitung "günstigen" Schreibweise. Es ist aber kein Zwang, die Funktion
[mm]f(x)=\green{\bruch{1}{6}}*(x+1)^{2}*(x-2)[/mm] kannst du auch mit der  Produktregel ableiten, mit [mm] u:=(x+1)^{2},v=(x-2)
[/mm]
Also: [mm]f'(x)=\bruch{\overbrace{(2(x+1)*1)}^{u'\text{m. Kettenr.}}\overbrace{(x-2)}^{v}+\overbrace{(x+1)^{2}}^{u}\overbrace{1}^{v'}}{\green{6}}[/mm]
Marius
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> Hallo
> > > Wie gesagt: das ist nicht vereinfacht sondern arg
> > > verkompliziert!
> >
> > Und wenn ich aber die Ableitungen bestimmen möchte,
> > dann muss ich das doch alels ausmultiplizieren oder?
> > Lehrer sagt das so.
>
> Yep, wenn du den Term ausmültiplizierst, bekommst du deine
> ganzrationale Funktion dritten Grades in der für die
> Ableitung "günstigen" Schreibweise. Es ist aber kein
> Zwang, die Funktion
> [mm]f(x)=\green{\bruch{1}{6}}*(x+1)^{2}*(x-2)[/mm] kannst du auch
> mit der Produktregel ableiten, mit
> [mm]u:=(x+1)^{2},v=(x-2)[/mm]
>
> Also: [mm]f'(x)=\bruch{\overbrace{(2(x+1)*1)}^{u'\text{m. Kettenr.}}\overbrace{(x-2)}^{v}+\overbrace{(x+1)^{2}}^{u}\overbrace{1}^{v'}}{\green{6}}[/mm]
Ok. Nur darf ich die Kettenregel nicht anwenden,
da wir diese ausgelassen haben im Unterricht,
muss ausmultiplizeren..
Kannst du bitte schauen wo mein Fehler beim
Ausmultiplizieren ist? Vielen Dank!
> Marius
Gruß,
Muellermilch
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Hallo Müllermilch!
Der Fehler muss nach der Zeile [mm] $\bruch{1}{6}*\left(x^2+2x+1\right)*(x-2)$ [/mm] passiert sein.
Wie kommst Du auf einen negativen Koeffizienten bei [mm] $x^3$ [/mm] ?
Gruß vom
Roadrunner
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> Hallo Müllermilch!
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> Der Fehler muss nach der Zeile
> [mm]\bruch{1}{6}*\left(x^2+2x+1\right)*(x-2)[/mm] passiert sein.
>
> Wie kommst Du auf einen negativen Koeffizienten bei [mm]x^3[/mm] ?
-> [mm] \bruch{1}{6}x^{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{3}x +\bruch{1}{6} [/mm] * (x-2)
ah. dannach hab ich das obrige in Klammern geschrieben und jeweils mit (x-2) multipliziert. Aber jetzt muss es doch wie folgt lauten denk ich:
also nur [mm] \bruch{1}{6} [/mm] wird mit (x-2) multipliziert (?) :
[mm] \bruch{1}{6}x^{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{3}x [/mm] + [mm] \bruch{1}{6}x [/mm] - [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
so jetzt richtig?
Also dann: [mm] \bruch{1}{6}x^{2} [/mm] + [mm] \bruch{3}{6}x- \bruch{1}{3} [/mm] bzw. [mm] \bruch{2}{6}
[/mm]
Gruß,
Muellermilch
>
>
> Gruß vom
> Roadrunner
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Hallo Müllermilch!
> -> [mm]\bruch{1}{6}x^{2}[/mm] + [mm]\bruch{1}{3}x +\bruch{1}{6}[/mm] * (x-2)
Hier fehlen dringend notwendige Klammern!
[mm] $$\red{\left(\black{\bruch{1}{6}x^{2} + \bruch{1}{3}x +\bruch{1}{6}}\right)}*(x-2)$$
[/mm]
> also nur [mm]\bruch{1}{6}[/mm] wird mit (x-2) multipliziert (?) :
![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]") Das verstehe ich nicht. Jeder Term aus der ersten Klammer wird mit jedem Term der zweiten Klammer multipliziert.
> [mm]\bruch{1}{6}x^{2}[/mm] + [mm]\bruch{1}{3}x[/mm] + [mm]\bruch{1}{6}x[/mm] - [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Da muss auf jeden Fall der Term [mm] $x^{\red{3}}$ [/mm] auftreten.
Am Ende solltest Du erhalten:
$$f(x) \ = \ [mm] \bruch{1}{6}*\left(x^3-3x-2\right) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{6}x^3-\bruch{1}{2}x-\bruch{1}{3}$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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