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| Aufgabe | Bestimmen sie den Parameter [mm] a\in\IR [/mm] jeweils so, dass die Funktion auf [mm] \IR [/mm] stetig wird:
[mm] f_{1}(x)=\begin{cases} 3x+1, & \mbox{für } x \mbox{kleinergleich2} \\ -2x+a, & \mbox{für } x \mbox{>2} \end{cases}
[/mm]
[mm] f_{2}(x)=\begin{cases} 4x+2, & \mbox{für } x \mbox{ kleinergleich1} \\ a^{2}/2*x+a+2, & \mbox{für } x \mbox{ >1} \end{cases} [/mm] |
Hallo, ich hab keine Ahnung wie ich an die Aufgabe rangehen soll geschweige denn wie man sowas rechnet!
Vielleicht könnt ihr mir helfen!
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> Bestimmen sie den Parameter [mm]a\in\IR[/mm] jeweils so, dass die
> Funktion auf [mm]\IR[/mm] stetig wird:
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> [mm]f_{1}(x)=\begin{cases} 3x+1, & \mbox{für } x \mbox{kleinergleich2} \\ -2x+a, & \mbox{für } x \mbox{>2} \end{cases}[/mm]
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> [mm]f_{2}(x)=\begin{cases} 4x+2, & \mbox{für } x \mbox{ kleinergleich1} \\ a^{2}/2*x+a+2, & \mbox{für } x \mbox{ >1} \end{cases}[/mm]
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> Hallo, ich hab keine Ahnung wie ich an die Aufgabe rangehen
> soll geschweige denn wie man sowas rechnet!
> Vielleicht könnt ihr mir helfen!
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Zu [mm] $f_1(x)$. [/mm] Die Funktion [mm] $x\mapsto [/mm] 3x+1$ ist ja für alle $x$ stetig. Genauso ist (für alle $a$) die Funktion [mm] $x\mapsto [/mm] -2x+a$ für alle $x$ stetig. Problematisch ist daher einzig die Stelle $x=2$, bei der in der Definition von [mm] $f_1(x)$ [/mm] vom einen (für alle $x$ stetigen) Funktionsterm zum anderen (für alle $x$ stetigen) Funktionsterm gewechselt wird. Daher ist [mm] $f_1(x)$ [/mm] genau dann stetig, wenn $a$ so gewählt wird, dass die beiden Funktionsterme an der Stellle $x=2$ denselben Wert haben.
Man könnte es auch so ausdrücken: [mm] $f_1(x)$ [/mm] ist an der einzig problematischen Stelle $x=2$ genau dann stetig, wenn gilt:
[mm]f_1(2)=\lim_{x\rightarrow 2-}f_1(x)=\lim_{x\rightarrow 2+}f_1(x)[/mm]
Dabei ist aber, wegen der erwähnten Stetigkeit des ersten bzw. zweiten Funktionsterms in der Definition von [mm] $f_1(x)$
[/mm]
[mm]\lim_{x\rightarrow 2-}f_1(x)=\lim_{x\rightarrow 2-}\left(3x+1\right)=3\cdot 2+1=7[/mm]
bzw.
[mm]\lim_{x\rightarrow 2+}f_1(x)=\lim_{x\rightarrow 2+}\left(-2x+a)=-2\cdot 2+a=a-4[/mm]
Also muss $7=a-4$, d.h. $a=11$ sein.
Zu [mm] $f_2(x)$: [/mm] Analoges Vorgehen wie bei [mm] $f_1(x)$.
[/mm]
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