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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Funktion und Ableitung
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Funktion und Ableitung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:17 So 16.06.2013
Autor: Joker08

Aufgabe
Sei f: U [mm] \to \IR [/mm] mit

f(a,b):=kleinste reelle Nullstelle von [mm] x^2+ax+b [/mm]

Bestimmen Sie dafür:

a) einen möglichst großen offenen Definitionsbereich U [mm] \subseteq \IR^2 [/mm]

b) [mm] J_f(a,b) [/mm]

c) alle Richtungsableitungen


Also ich hab schon irgendwie meine probleme mir die funktion vorzustellen.

Die funktion ist also definiert als die kleinste Nullstelle von [mm] x^2+ax+b [/mm]

Dazu müsste ich ja erstmal wissen wann f(a,b)=0 ist.

Aber Nst. von funktionen aus dem [mm] \IR^n [/mm] kann man ja nicht so ohne weiteres bestimmen.

Kann mir jemand helfen ? Irgendwie verstehe ich die Aufgabe nicht so ganz

        
Bezug
Funktion und Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:04 So 16.06.2013
Autor: fred97

Die Funktion f ist wie folgt def.:

ist (a,b) [mm] \in [/mm] U , so betrachte die Funktion [mm] p(t)=t^2+at+b [/mm] und berechne die Nullstellen [mm] t_1 [/mm] und [mm] t_2 [/mm] von p.

Dann ist f(a,b):= min [mm] \{t_1,t_2 \} [/mm]

Beispiel: f(0,-1)=-1

In a) ist U so zu bestimmen, dass für (a,b) [mm] \in [/mm] U die Gl. [mm] t^2+at+b [/mm] reelle Lösungen hat, dass U offen ist und dass U "möglichst " groß ist.

FRED

Bezug
                
Bezug
Funktion und Ableitung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:17 So 16.06.2013
Autor: Joker08


> Die Funktion f ist wie folgt def.:
>  
> ist (a,b) [mm]\in[/mm] U , so betrachte die Funktion [mm]p(t)=t^2+at+b[/mm]
> und berechne die Nullstellen [mm]t_1[/mm] und [mm]t_2[/mm] von p.
>  
> Dann ist f(a,b):= min [mm]\{t_1,t_2 \}[/mm]

Okay, also das habe ich mal gemacht:

[mm] t^2+at+b=0 [/mm]

[mm] \gdw t^2+at=-b [/mm]


[mm] \gdw (t+\bruch{a}{2})^2=\bruch{a^2}{4}-b [/mm]

[mm] \gdw (t+\bruch{a}{2})^2=\bruch{a^2-4b}{4} [/mm]

[mm] \gdw t+\bruch{a}{2}=\pm \wurzel{\bruch{a^2-4b}{4}} [/mm] Was nur geht, wenn [mm] \bruch{a^2-4b}{4}\ge0 [/mm] ist.

[mm] \gdw t+\bruch{a}{2}=\pm \wurzel{\bruch{a^2-4b}{4}} [/mm]


[mm] \gdw [/mm] t = [mm] \pm \wurzel{\bruch{a^2-4b}{4}}-\bruch{a}{2} [/mm]


Dann ist f(a,b):= min $ [mm] \{ \bruch{\wurzel{a^2-4b}-2a}{2} , -\bruch{\wurzel{a^2-4b}-2a}{2} \} [/mm] $
  

> Beispiel: f(0,-1)=-1

Das würde dann auch passen.

> In a) ist U so zu bestimmen, dass für (a,b) [mm]\in[/mm] U die Gl.
> [mm]t^2+at+b[/mm] reelle Lösungen hat, dass U offen ist und dass U
> "möglichst " groß ist.

Okay, also muss  

[mm] a^2-4b\ge [/mm] 0

[mm] \gdw a^2\ge [/mm] 4b

Dass gilt schonmal für alle (a,b) [mm] \in [4,\infty) [/mm]

Für (a,b) [mm] \in \{0\} [/mm]

Für (a,b) [mm] \in (-\infty, [/mm] 0) ist die gleichung auch erfüllt.

Also darf [mm] (a,b)\in [/mm] U mit [mm] U:=\{ (-\infty, 0], [4,\infty)\} [/mm]

sein ?

> FRED


Bezug
                        
Bezug
Funktion und Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:01 Mo 17.06.2013
Autor: leduart

Hallo

> [mm]t^2+at+b=0[/mm]
>  
> [mm]\gdw t^2+at=-b[/mm]
>  
>
> [mm]\gdw (t+\bruch{a}{2})^2=\bruch{a^2}{4}-b[/mm]
>  
> [mm]\gdw (t+\bruch{a}{2})^2=\bruch{a^2-4b}{4}[/mm]
>  
> [mm]\gdw t+\bruch{a}{2}=\pm \wurzel{\bruch{a^2-4b}{4}}[/mm] Was nur
> geht, wenn [mm]\bruch{a^2-4b}{4}\ge0[/mm] ist.
>  
> [mm]\gdw t+\bruch{a}{2}=\pm \wurzel{\bruch{a^2-4b}{4}}[/mm]
>  
>
> [mm]\gdw[/mm] t = [mm]\pm \wurzel{\bruch{a^2-4b}{4}}-\bruch{a}{2}[/mm]
>  

richtig

> Dann ist f(a,b):= min [mm]\{ \bruch{\wurzel{a^2-4b}-2a}{2} , -\bruch{\wurzel{a^2-4b}-2a}{2} \}[/mm]

hier hast du einen Fehler, das 2 te  -a muss +2a sein.
kannst du das min nicht bestimmen?

> > Beispiel: f(0,-1)=-1
>  
> Das würde dann auch passen.
>  
> > In a) ist U so zu bestimmen, dass für (a,b) [mm]\in[/mm] U die Gl.
> > [mm]t^2+at+b[/mm] reelle Lösungen hat, dass U offen ist und dass U
> > "möglichst " groß ist.
>  
> Okay, also muss  
>
> [mm]a^2-4b\ge[/mm] 0
>
> [mm]\gdw a^2\ge[/mm] 4b
>  
> Dass gilt schonmal für alle (a,b) [mm]\in [4,\infty)[/mm]

das und das folgende ist sinnlos, U ist kein Intervall sondern eine 2 dimensionale Menge, also aus [mm] \IR^2, [/mm] das kannst du nicht als Intervall angeben, entweder einfach durch die Ungleichung oder geometrisch , als Gebiet im [mm] R^2 [/mm] das ausserhalb der Parabel  [mm] b=a^2/4 [/mm] liegt.

Gruss leduart

Bezug
                                
Bezug
Funktion und Ableitung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:22 Mo 17.06.2013
Autor: Joker08


> Hallo
>  
> > [mm]t^2+at+b=0[/mm]
>  >  
> > [mm]\gdw t^2+at=-b[/mm]
>  >  
> >
> > [mm]\gdw (t+\bruch{a}{2})^2=\bruch{a^2}{4}-b[/mm]
>  >  
> > [mm]\gdw (t+\bruch{a}{2})^2=\bruch{a^2-4b}{4}[/mm]
>  >  
> > [mm]\gdw t+\bruch{a}{2}=\pm \wurzel{\bruch{a^2-4b}{4}}[/mm] Was nur
> > geht, wenn [mm]\bruch{a^2-4b}{4}\ge0[/mm] ist.
>  >  
> > [mm]\gdw t+\bruch{a}{2}=\pm \wurzel{\bruch{a^2-4b}{4}}[/mm]
>  >  
> >
> > [mm]\gdw[/mm] t = [mm]\pm \wurzel{\bruch{a^2-4b}{4}}-\bruch{a}{2}[/mm]
>  >  
> richtig
>  > Dann ist f(a,b):= min [mm]\{ \bruch{\wurzel{a^2-4b}-2a}{2} , -\bruch{\wurzel{a^2-4b}-2a}{2} \}[/mm]

>  
> hier hast du einen Fehler, das 2 te  -a muss +2a sein.
> kannst du das min nicht bestimmen?
>  > > Beispiel: f(0,-1)=-1

>  >  
> > Das würde dann auch passen.
>  >  
> > > In a) ist U so zu bestimmen, dass für (a,b) [mm]\in[/mm] U die Gl.
> > > [mm]t^2+at+b[/mm] reelle Lösungen hat, dass U offen ist und dass U
> > > "möglichst " groß ist.
>  >  
> > Okay, also muss  
> >
> > [mm]a^2-4b\ge[/mm] 0
> >
> > [mm]\gdw a^2\ge[/mm] 4b
>  >  
> > Dass gilt schonmal für alle (a,b) [mm]\in [4,\infty)[/mm]
>  
> das und das folgende ist sinnlos, U ist kein Intervall
> sondern eine 2 dimensionale Menge, also aus [mm]\IR^2,[/mm] das
> kannst du nicht als Intervall angeben, entweder einfach
> durch die Ungleichung oder geometrisch , als Gebiet im [mm]R^2[/mm]
> das ausserhalb der Parabel  [mm]b=a^2/4[/mm] liegt.
>  
> Gruss leduart


Hey vielen dank an alle für die Hilfe.
Ich habs nun hinbekommen. :)



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