Funktion mit genau < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die Funktion f: [mm] \IR->\IR, [/mm] f(x)=epx(x-3)-x, genau zwei Nullstellen hat und berechnen Sie diese näherungsweise mit dem Newtonverfahren. |
Hallo,
ich habe folgende Lösung:
Ersteinmal die benötigten Ableitungen berechnen:
f(x)=exp(x-3)-x
f'(x)=exp(x-3)-1
f''(x)=exp(x-3)
Es gilt:
f'(x)=exp(x-3)-1>0
<=> exp(x-3)>1
<=>x-3>0 (da exp(1)=0)
<=>x>3
=> f ist streng monoton steigend für x>3
f'(x)=exp(x-3)-1<0
<=> x-3<0
<=>x<3
=>f ist streng monoton fallend für x<3
f'(x)=exp(x-3)-1=0
<=>exp(x-3)=1
<=>x-3=0
<=>x=3
f''(3)=exp(3-3)=exp(0)=1>0
=> Min für x=2
f(3)=exp(3-3)-3=exp(0)-3=1-3= -2
=>Min(3,-2)
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] f(x) = [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] (exp(x-3)-x) = [mm] \infty
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow -\infty} f(x)=\limes_{x\rightarrow -\infty}(exp(x-3)-x)=\limes_{x\rightarrow -\infty}(exp(x-3))-\limes_{x\rightarrow -\infty}x
[/mm]
= [mm] 0-(-\infty)
[/mm]
[mm] =\infty
[/mm]
Da Min(3,-2) und f für x>3 streng monoton steigend und [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] f(x) = [mm] \infty [/mm] existiert eine Nullstelle zwischen [mm] 3
Da es nur einen Extrempunkt gibt und die gezeigte Steigungen gelten, sind die beiden Nullstellen die einzigen Nullstellen.
Netwon-Verfahren:
geschätzte Nullstellen: [mm] x_0=2 [/mm] und [mm] x_0=4. [/mm] (Hmm, also ich habe die nur auf Grund der beiden Limese geschätzt, gibt es ein besseres Schätzverfahren?).
[mm] x_{n+1}=x_n [/mm] - [mm] f(x_n)/f'(x_n)
[/mm]
[mm] x_0=2
[/mm]
[mm] x_1=2-f(2)/f'(2) [/mm] = 2-(exp(2-3)-2)/(exp(2-3)-1)=....= -0,579
[mm] x_2 [/mm] = -0,579 -f(-0,579)/f'(-0,579) = ...= 0,0453
[mm] x_3=0,0453 [/mm] - f(0,0453)/f'(0,0453) =....= 0,0453-(-0,00716)=0,05246
Abbruch des Verfahrens auf Grund der minimalen Abweichung (-0,00716),
Oder sollte man besser die Probe als Grund angeben?
Probe:
f(0,05246)=exp(0,05246-3)-0,05246=exp(-2,94754)-0,05246
= 0,05246-0,05246=0.
Mit [mm] x_0=4 [/mm] verfährt man dann genauso.
Liebe Grüße
sommersonne
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:05 Sa 30.08.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo sommersonne!
Alles richtig! ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> Netwon-Verfahren:
> geschätzte Nullstellen: [mm]x_0=2[/mm] und [mm]x_0=4.[/mm] (Hmm, also ich
> habe die nur auf Grund der beiden Limese geschätzt, gibt es
> ein besseres Schätzverfahren?).
Da es wie gezeigt nur dieses beiden Nullstellen gibt, kann man nichts falsch machen mit dem schätzen. Ansonsten einfach mal einige Funktionswerte berechnen, um einen guten Startwert zu erhalten. Dann bietet sich z.B. [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 0$ an.
> Abbruch des Verfahrens auf Grund der minimalen Abweichung
> (-0,00716),
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Oder sollte man besser die Probe als Grund angeben?
> Probe:
> f(0,05246)=exp(0,05246-3)-0,05246=exp(-2,94754)-0,05246
> = 0,05246-0,05246=0.
Beides ist möglich!
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:43 Sa 30.08.2008 | | Autor: | Maggons |
Hallo!
Nur zwei Fragen:
1. es ist nur ein kleiner Fehler, aber wir machen ja immer auf alles aufmerksam ;)
oben heißt es "da exp(1)=0"; müsste es aber nicht heißen "da ln(1)=0"?
2. frage ich mich wie man zwischen streng monoton steigend/ fallend und "nur" monoton steigend/ fallend differenziert.
Was müsste vorliegen, damit es nicht mehr "streng" ist sondern "nur normal"?
Lg
Marco
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:49 Sa 30.08.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Marco!
> oben heißt es "da exp(1)=0"; müsste es aber nicht heißen
> "da ln(1)=0"?
Du hast Recht ... aber es geht auch mit meiner Argumentation:
[mm] $$\exp(x-3) [/mm] \ > \ 1 \ = \ [mm] \exp(0)$$
[/mm]
Dann kann ich doch wegen der strengen Monotonie der e-Funktion $x-3 \ > \ 0$ draus machen.
> 2. frage ich mich wie man zwischen streng monoton steigend/
> fallend und "nur" monoton steigend/ fallend differenziert.
>
> Was müsste vorliegen, damit es nicht mehr "streng" ist
> sondern "nur normal"?
Bei normaler Monotonie gilt $f'(x) \ [mm] \red{\ge} [/mm] \ 0$ bzw. $f'(x) \ [mm] \red{\le} [/mm] \ 0$ . Das heißt, hier gilt das weniger strenge Ungleichheitszeichen mit dem Gleichheitszeichen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:55 Sa 30.08.2008 | | Autor: | Maggons |
Hallo!
Ok, das ist angekommen. Danke für die Antwort.
Das einzige, was noch ein wenig unklar für mich ist, ist die Tatsache auf was man denn nun "untersuchen soll".
Setzt man nicht standartmäßig f ' (x)>x?
Das einzige, was mich nun zum Differenzieren bringe würde, wäre, falls in der Aufgabenstellung "Weisen Sie nach, dass f(x) streng monoton steigend ist" bzw. "Weisen Sie nach, dass f(x) monoton steigend ist".
Aber sonst wüsste ich nicht nach welchem Kriterium ich auswählen sollte.
Es hat nicht jemand spontan ein anschauliches Beispiel zur Hand? :D
Lg
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Hallo,
ersteinmal vielen Dank für deine Antwort! Natürlich gilt nicht exp(1)=0...
Ich weiß nicht ob ich deine Frage richtig verstanden habe: Ich habe hier differenziert, weil ich zeigen sollte, dass es genau zwei Nullstellen gibt. Zeigen, dass diese existieren, heißt ja nicht berechnen und berechnen über exp(x-3)-x=0 wäre auch (für mich) schwierig. Daher habe ich gezeigt, wie der Graph aussieht und dabei wird deutlich, dass es zwei Nullstellen gibt. Für das "Aussehen" des Graphs benötigte ich die Steigung.
Liebe Grüße
sommersonne
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:10 Sa 30.08.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo Marco
Wieso man "standard" f'(x)>x setzen sollte ist mir voellig unklar! Was meinst du damit?dh. welchen zweck soll das haben? warum man die fkt auf Monotonie untersuchte ist ja schon beantwortet.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:09 Mo 01.09.2008 | | Autor: | Maggons |
Hallo!
Entschuldigung für den Schreibfehler; es hätte natürlich heißen sollen f '(x) > 0 statt "f'(x)>x", um eine monotone Steigung zu beweisen.
In diesem Zusammenhang ist mir das Vorgehen durchausbewusst, dass man einfach mit dem Verlauf des Graphen argumentiert und damit beweist, dass genau 2 Nullstellen vorliegen.
Es ist mir klar, dass man obige Gleichung nur mit Hilfe eines Näherungsverfahrens von Newton oder sonstigen lösen könnte und daher solch ein Hilfsmittel hier in Anspruch nimmt.
"Eigentlich" war die Frage ja ein wenig überflüssig; es genügt in Aufgabenstellungen wie dieser zu beweisen, dass es "nur monoton" steigt, da eine strenge Monotonie für den Verlauf des Graphen in dieser Aufgabenstellung unerheblich ist.
Meine eigentliche Frage ist wohl eher, wenn ich es auch nochmal für mich selbst deutlicher formuliere, wann ich überhaupt strenge Monotonie "benötige"? Wann ist es von nöten, dass ich diese Nachweise? Gibt es derartige Aufgabenstellungen?
Das Wort differenzieren hier zu benutzen war natürlich auch ein wenig blauäugig von mir; ich meinte mit Differenzieren lediglich das Unterscheiden zwischen monoton und streng monoton fallend/ steigend.
Mit freundlichen Grüßen
Marco
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:07 Mo 01.09.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hallo!
>
> Entschuldigung für den Schreibfehler; es hätte natürlich
> heißen sollen f '(x) > 0 statt "f'(x)>x", um eine monotone
> Steigung zu beweisen.
>
>
Okay, sowas passiert halt immer mal.
>
> [...]
> Meine eigentliche Frage ist wohl eher, wenn ich es auch
> nochmal für mich selbst deutlicher formuliere, wann ich
> überhaupt strenge Monotonie "benötige"? Wann ist es von
> nöten, dass ich diese Nachweise? Gibt es derartige
> Aufgabenstellungen?
Yep, solche Aufgaben gibt es. Meistens ist "nur" Monoton dann ein Spezialfall, weil auch konstante Funktionen f(x)=c sind Monoton, nicht aber Streng Monoton. Und manchmal will man eben kostsante Funktionen ausschliessen, dann brauchst du strenge Monotonie
>
> Das Wort differenzieren hier zu benutzen war natürlich auch
> ein wenig blauäugig von mir; ich meinte mit Differenzieren
> lediglich das Unterscheiden zwischen monoton und streng
> monoton fallend/ steigend.
Jaja, die Fachterminologie...
>
>
> Mit freundlichen Grüßen
>
> Marco
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:36 Sa 30.08.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sommersonne!
Ein Fehler hat sich doch eingeschlichen ...
> Es gilt:
> f'(x)=exp(x-3)-1>0
> <=> exp(x-3)>1
> <=>x-3>0 (da exp(1)=0)
Da muss die Begründung natürlich [mm] "$\ln(1) [/mm] \ = \ 0$" bzw. [mm] "$\exp(0) [/mm] \ = \ 1$" lauten!
Danke an die Superspürnase Herby! ![[detective]](/images/smileys/detective.gif "[detective]")
Gruß
Loddar
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